Mennyi a konvex sokszög átlóinak száma, ha tudjuk, a belső szögeinek az összegét?

Szögek száma

Szögösszeg:180+2

Átlók:

(

N*n-3)/2

No problemo! Ha nincs képlet, akkor csinálunk egyet! :-)

Legyen

Sö - a belső szögek összege

n - a sokszög oldalainak száma

dö = ? - a sokszög átlóinak száma

Egy sokszög átlóinak száma

dö = n(n - 3)/2

A képlet használatához csak a sokszög oldalainak száma kell, ezt kell az ismert adatból meghatározni.

Mint ismert, a belső szögek összege

Sö = (n - 2)*180

Ebből nem gond kifejezni az oldalak számát:

n = (Sö/180) + 2

Mivel a zárójelben levő mennyiség konstans, ezért szerintem célszerű egy külön névvel ellátni.

Legyen

Sö/180 = k

Ezzel az előző képlet:

n = k + 2

Máris a célegyenesben vagyunk, lehet behelyettesíteni az átlók számát meghatározó képletbe:

dö = n(n - 3)/2

dö = (k + 2)(k + 2 - 3)/2

dö = (k + 2)(k - 1)/2

==============

Ezzel meglennénk! Egész pofás kis képlet lett a munkánk eredménye!

Próbáljuk ki!

Legyen egy sokszög belső szögeinek összege

Sö = 1440

Ebből

k = Sö/180 = 1440/180

k = 8

ezzel az átlók száma

dö = (8 + 2)(8 - 1)/2 = 70/2

dö = 35

=====

Felmerülhet a kérdés: hány oldalú a sokszög?

Előkapjuk az átlók számát adó képletet

dö = n(n - 3)/2

Kicsit alakítjuk

2*dö = n² - 3n

Nullára rendezve

0 = n² - 3n - 2*dö

Behelyettesítjük az általunk kapott értéket

0 = n² - 3n - 70

Ez egy jólnevelt másodfokú egyenlet, amelynek a gyökei:

n1 = 10

n2 = -7

Természetesen az első gyök a jó, tehát egy tízszögről van szó.

Itt a vége, fuss el véle, használd egészséggel az eredményt!

DeeDee

**********