Valaki segítene valószínűségszámításban?

1.)

50%

50%

2.)

50%

50%

3.)

e

1a)

Tudott az akcióról: 60%. Ehhez hozzá kellene még adni, hogy "vagy vett valamit". Akik úgy vettek, hogy tudtak az akcióról, azok már megvannak, tehát csak azokat kell hozzáadni, akik nem tudtak az akcióról, de vettek valamit. Az pedig 40%-nak a 30%-a, vagyis 0,4·0,3 = 0,12. Összesen tehát 72%.

1b)

Vagy tudott az akcióról és vett, vagy nem tudott az akcióról és vett. Vagyis 0,6·0,5 + 0,4·0,3

2a)

Hasonlóan megy, mint 1a. Vagyis: Két autója van: 70%. Ehhez kell hozzáadni, hogy "vagy pedig a bevételük magasabb...". Vagyis csak a maradék 30%-nál érdekes, hogy kiknek magasabb a bevételük, annak kell tehát a 10%-át venni. 0,7 + 0,3·0,1

2b)

Most látom a kérdésből, hogy nem gimnazista lehetsz. Feltételes valószínűségről és Bayes tételről, valamit a teljes valószínűség tételéről van szó. A feladatból látszanak az olyan feltételes valószínűségek, mint pl. P(M | K) = 0,7, vagyis a magas kereset (M) valószínűsége, feltéve ha két autó van (K), az 70%. Ennek a fordítottját kérdezi a feladat, vagyis azt, hogy P(K | M), ez a fordított irány mutatja, hogy Bayes tétel kell.

Egyébként a valódi kérdés nem P(K | M), hanem annak az inverze, tehát 1 - P(K | M)

Persze ehhez is a Bayes tételen keresztül jutunk. De először értsd meg, hogy miért 1 - P(K | M) a megoldás. (Ha nem megy, kérdezz.)

A Bayes tétel szerint:

P(K | M) = P(M | K) · P(K) / P(M)

Ezek a valószínűségek is kellenek tehát:

P(K) = 0,7, ez direktben benne van a szövegben

P(M) = ... ez, hogy mennyi a magas jövedelem valószínűsége, nincs benne. Ez viszont a teljes valószínűség tételével jön ki:

P(M) = P(M | K)·P(K) + P(M | ~K)·P(~K)

Itt most ~K jelöli azt az eseményt, hogy nincs két autó a családban.

A maradék két valószínűség szintén meg van adva a szövegben:

P(M | ~K) = 0,1

P(~K) = 1 - P(K) = 0,3

Most már csak be kell helyettesíteni.

3)

Egy eloszlás akkor ferde, ha nem szimmetrikus az átlagra (várható értékre). Szóval mondjuk nem szép normális eloszlású Gauss görbe, hanem az egyik oldal hosszan ellaposodik.

A szép szabályos normális eloszlásról érdemes tudni, hogy a csúcsa körüli plusz-mínusz egy szórásnyi (±1 σ) tartományban van az esetek kb. 68%-a, ± két szórásnyira kb. 95%, és még esetleg azt is, hogy ±3 szórásnyira kb. 99,7%. A pontos számok persze az 1α, 2σ esetén sem ilyen kerek egészek (a pontosabb értékek 68,27% és 95,45%), de azt nem érdemes megjegyezni (én is csak utánanéztem most).

Ezek a számok eléggé stabilak, függetlenül az eloszlástól; nem pontosan meghatározott ferde eloszlások esetén is használhatjuk őket. Persze ott a pontos érték már más lesz, függ a ferdeségtől, de ezek a 68-95-99,7 értékek jó közelítések.

Nézzük a lehetőségeket:

a) Ez a 15%..25% tartomány pont a ±1 szórásnyi rész, ezen belül tényleg kb. 68% van, ez jó.

b) Ez ugyanaz a tartomány, túl sok a 75% a 68-hoz képest, nem jó

c) Ez a ±2σ tartomány, ami kb 95%; kevés a 89, nem jó. (Formálisan a "legalább 89" értelmezhető úgy is, hogy a 95 is benne van, de szerintem nem úgy gondolta a feladat kiírója.)

d) Ez pedig a ±3σ tartomány, kb. 99,7% van ott, ez sem jó

e) A valószínűségben az a szép, hogy bármilyen eseménynek van valamilyen, esetleg pici valószínűsége, vagyis olyat, hogy "egyik hozam sem volt több", olyat sose lehet mondani, bármekkora is a mondat végén a szám.