Hogyan kell megoldani ezt a feladatot? Merre induljak el?

Feladat: igazolandó, hogy

ab(a+b) + bc(b+c) +ac(a+c) > 6abc

Ahol a,b,c pozitív valós szám.

Az egyenlőtlenség bal oldala

ab(a+b) + bc(b+c) +ac(a+c)

abc-t kiemelve

abc[(a + b)/c + (b + c)/a + (a + c)/b]

A szögletes zárójelben a tagonkénti osztást elvégezve

abc(a/c + b/c + b/a + c/a + a/b + c/b)

A zárójelben levő tagokat átcsoportosítva

abc[(a/c + c/a) + (b/c + c/b) + (b/a + a/b)]

A kerek zárójelben levő összegek mindegyike nagyobb kettőnél, (*)

így az összeg > 6abc,

amit bizonyítani kellett.

(*)

Lásd

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Megjegyzés:

A feladat a leírt formában csak a≠b≠c esetén érvényes.

Mivel az a, b, c értékére nincs kikötés, akkor az a = b = c esetben egyenlőség áll fenn (=6abc)

Tehát a korrekt forma

ab(a+b) + bc(b+c) +ac(a+c) ≥ 6abc

lett volna.

DeeDee

**********