Legyen a0 = 0 és legyen (an+1 = 2an^2 + 1). Teljes indukcióval igazoljuk, hogy az (an) sorozat monoton növekvő?

a(n+1) = 2·a(n)² + 1

a(1)=1, a(2)=3, a(3)=19, teljesül rájuk, hogy monoton növekvő.

Tegyük fel, hogy a(n-1) < a(n)

Igaz-e, hogy a(n) = 2·a(n-1)²+1 < a(n+1) = 2·a(n)²+1

a(n-1)² <? a(n)²

A rekurziós feltétel szerint pedig ez igaz (mivel a sorozat elemei pozitívak).

Ha nem ragaszkodunk a teljes indukcióhoz, akkor úgy is számolhatunk, hogy ha egy sorozat szigorúan monoton nő, akkor a(n+1)>a(n) teljesül. Tudjuk, hogy a(n+1)=2a(n)^2+1, tehát

2a(n)^2+1>a(n), ez egy másodfokú egyenlőtlenség:

2a(n)^2-a(n)+1>0

Ennek a diszkriminánsa negatív ( (-1)^2-4*2*1=-7) ), a főegyüttható pozitív, tehát biztos, hogy a másodfokú függvény minden tagja pozitív, így a polinomsorozat minden tagja is nagyobb lesz 0-nál, tehát az eredeti sorozat szigorúan monoton növő lesz.