Szabályos dobókockával a lehető legnagyobb számot szeretném dobni. Ha nem tetszik a dobott szám, még kétszer újradobhatok (maximum három lehetőségem van). Mi az optimális stratégia és mi a maximum várható értéke?

Nézzünk először egy egyszerűbbet: csak kétszer dobhatunk (vagyis vagy megállunk az első után, van újra dobunk.)

A második (utolsó) dobásnak a várható értéke 3.5, ezért ha elsőre 4,5,6-ot dobok, akkor nem érdemes tovább menni, megállok, egyébként újra dobok.

1/2 valószínűséggel állok tehát meg az első dobás után, és ha ilyen nagyot dobok, a várható érték (4+5+6)/3 = 5.

A teljes stratégiának a várható értéke:

1/2·5 + 1/2·3.5 = 4.25

Ha 3 lehetséges dobásunk van, akkor az első dobás után még dobhatok kétszer, aminek a várható értéke 4.25. Ezért akkor érdemes az első után megállni, ha 5-öst vagy 6-ost dobok, egyébként érdemes továbbmenni az előző 2-dobásos stratégiával.

A teljes 3-dobásos stratégiának a várható értéke tehát:

1/3 · 5.5 + 2/3 · 4.25 = 4,6666

Lehető legnagyobb számot szeretnéd dobni =/= lehető legnagyobb várhatóértékű stratégiát keresed.

A lehető legnagyobb szám eléréséhez az optimális stratégia egyértelműen az, hogy addig dobálsz, amíg nem lesz 6-os. (Ha a 3 közül egyik sem 6-os, akkor IJ)

bongolo nem vizsgált meg minden lehetséges stratégiát, csak azokat a stratégiákat, amelyek úgy néznek ki, hogy az ember az adott szám ismeretében eldönti hogy megáll-e.

Vannak olyan stratégiák, amelyek nem csak az adott számot, de az azt megelőző számot is figyelembe veszik megálláskor. (Azaz a második döntés esetében több információja van az embernek, mintha egy 2 dobásos játékot játszana).

Vannak olyan stratégiák is, amely nem olyan alakú, hogy

"3 esetén újat dobunk, 4 esetén elfogadjuk",

hanem olyan alakú, hogy

"3 esetén 20% eséllyel megállunk, 80% eséllyel tovább megyünk, 4 esetén 80% eséllyel állunk meg, 20% esetén megyünk tovább.

Egyébként szép megoldás.

Lehet, hogy benéztem valamit, de nekem az volt a meggyőződésem, hogy a feladat úgy szól, hogy az utolsó dobás számít. Vagyis ha mondjuk ezt a hármat dobom: 5, 4, 3 (vagyis nem álltam meg mondjuk az 5 után), akkor az 3-nak számít. Kicsit úgy, mint a Szindbád-problémánál: ott is ha lekéstem a legszebb háremhölgyet, akkor úgy jártam, elment.

A másik dolog meg a várható érték, az viszont a feladat szövegében is benne van, hogy várható értékre kell játszani. Vagyis az, hogy "addig dobálsz, amíg nem lesz 6-os", az nem működik, mert ha úgy jártál, hogy a harmadik mondjuk 1-es, akkor nagyon leromlik a várható érték.

Az előző számot nem tudom, hogyan lehetne figyelembe venni; a kísérletek függetlenek, tehát az előző szám nem befolyásolja a következő dobást, és mivel az már csak előző, a végeredményt se befolyásolja, mert már dobtam újat és legfeljebb az számít. (Persze ha a feltételezésem a feladat szövegéről igaz.)

Az utolsónak írt stratégiád már érdekesebb, de ez sem hoz semmi jót. Mondjuk teszteljünk egy olyan két-dobásos startégiát, hogy ha elsőre 4-est dobunk, akkor p valószínűséggel megállunk, 1-p-vel pedig dobunk még egyet. Ennek várható értéke ez lesz:

p·4 + (1-p)·3,5

Könnyen belátható, hogy ez p=1 esetén maximális, tehát nem éri meg mást játszani.

--

Megint hozzáteszem azért, hogy mindez akkor igaz, ha úgy szól a feladat, hogy csak az utolsó dobás számít a max háromból.