Egy háromszög oldalhosszúságai egy számtani sorozat egymást követő tajai. A háromszög kerülete 15 cm, a legrövidebb és leghosszabb oldalának a szorzata 21 cm^2 . Mekkora a háromszög területe?

a+(a+d)+(a+2d)=15

a+d=5

a(a+2(5-a))=21

Ha a legrövidebb oldal a, akkor az utána jövő oldal a+d, az azután jövő pedig a+2d, mert számtani sorozatot alkotnak, vagyis d értékével növekednek.

A kerület a három oldal összege: a + a+d + a+2d = 15

Ebből az egyenletből jön ki az a+d=5, amiből a-t kifejezve d=5-a

A legrövidebb oldal a, a leghosszabb a+2d, ennek a kettőnek a szorzata 21: a*(a+2d)=21

d helyére írjunk (5-a)-t: a*(a+2(5-a))=21

Ezt már meg tudod oldani?

Érdemes ilyenkor arra gondolni, hogy ha a középsőt veszed alapul, akkor az előző d-vel kisebb, a következő meg d-vel nagyobb. Ha erre írod fel az összeget, csoda történik. Sőt, még a szorzatnál is.

-----------------------------------------------------------

Itt állj meg, és próbálkozz, csak akkor olvass tovább, ha nagyon nem megy!

-----------------------------------------------------------

Legyen a középső k, a differencia d. Ekkor a három tag k-d, k, k+d, ezek összege (k-d)+k+(k+d)=3k=15, azaz k=5

A két szélső szorzata (k-d)(k+d)=k^2-d^2=21, amibe a k=5-öt beírva kapjuk, hogy d^2=4, azaz d=2.

Eszerint a háromszög oldalai 3, 5, 7 cm-ek. Erre érdemes az Héron-képlettel rárohanni.