Autó útvonalán 10 megálló van a végállomásokkal együtt. Az egyik végállomástól indulva a megállók távolsága mindig 150m-rel több az előzőnél. A 4-dik és 5-dik megálló között a távolság pont 1km. Mekkora a távolság a 2-dik és a 7-edik megálló között?

Illetve nem, egy kicsit félreértelmeztem a feladatot.

Ha 4-5 között 1 km=1000 m, akkor a feladat szerint 5-6 között 1150 métert, 6-7 között 1300 métert tett meg. Visszafelé, 3-4 között 850 métert, 2-3 között 700 métert tett meg. Ezeket csak össze kell adni; 700+850+1000+1150+1300=5000 méter.

1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10

550 700 850 1000 1150 1300 1450 1600 1750

1450 1300 1150 1000 850 700 550 400 250

Ez alapján 2 km a megoldás, mindegy melyik irányból növekszik a távolság.

A feladat egyszerűen megoldható a sorozatrészek szimmetriáját felhasználva.

Az azt hiszem egyértelmű, hogy egy számtani sorral van dolgunk, amiről kezdetben csak annyit tudunk, hogy a differenciája

d = 150 m,

és az egyik tagja 1000 m.

Segítségül a feladat rajza:

(1)---a1---(2)---a2---(3)---a3---(4)---a4---(5)---a5---(6)---a6---(7)---a7----(8).....

A kiírás szerint

"A 4-dik és 5-dik megálló között a távolság pont 1km."

A rajzról látszik, hogy az a4 tagról van szó, tehát

a4 = 1000

Kellene még a sor első tagja.

a4 = a1 + 3d

ebből

a1 = a4 -3d

behelyettesítve

a1 = 1000 -3*150 = 1000 - 450

így

a1 = 550 m

Tehát a sorunk alapadatai

a1 = 550

d = 150

valamint

a4 = 1000

Ezek után rátérhetünk a feladat kérdésének megválaszolására.

" Mekkora a távolság a 2-dik és a 7-edik megálló között?"

A rajzról látható, hogy a két megálló között 5 távolság - a sor 5 tagja - van::

a2, a3, a4, a5, a6. A kérdésre a választ ennek az 5 tagnak az összege adja

S = a2 + a3 + a4 + a5 + a6

Most jön a szimmetria.

Páratlan számú tagunk van, melyeknek a középső eleme az ismert a4!

Ha ennek segítségével írjuk fel a tagokat, akkor

a2 = a4 -2d

a3 = a4 - d

a4 = a4

a5 = a4 + d

a6 = a4 + 2d

Összeadáskor a differenciák kiesnek és marad

S = 5*a4

vagyis a távolság a 2. és a 7. megálló között

S = 5000 m

=========

Természetesen a sor összegképlete is használható az a2 - a6 tagok összegzésére

ehhez

a2 = a1 + d = 550 + 150

a2 = 700

a6 = a1 + 5d = 550 + 5*150

a6 = 1300

a tagok száma

n = 5

Behelyettesítve

S(2-6) = (a2 + a6)*n/2

S(2-6) = (700 + 1300)*5/2

S(2-6) = 5000

===========