Legyen f (x) =6x^2−8x+10, 0≤x≤7 Az f (x) maximuma (a vizsgált intervallumon) :? az f (x) minimuma (a vizsgált intervallumon) :?

Másodfokú egyenlet megoldó képlete:

a*x`2+b*x+c ---> X1,2 ( 1,2 jobb alsó index )=(b`2+-gyök alatt(4*a*C))/2a

A gyök jelet ennek írom, mert nincs gyök jel a telefonomon: ✓

A te esetedben lehet 2-vel egyszerűsíteni, azaz f(x)=3x`2+4x+5

X1,2=(16+-✓60)/6--->X1=1,38 X2=3,96

Meg van a 2 zérushelyed ( ahol a függvény metszi az X tengelyt ). Ábrázolod a függvényt 0 és 7 között, majd megmondod hol ( x tengely )) alegalacsonyabb ( abszolút minimum ) és hol a legmagasabb ( abszolút maximum ) az y értéke.

3# ha lenne hozzá kedvem írnék egy programot, de vizsgaidőszak van. Egyébként van fent több program, de ott van pl: a wolfram.

[link]

#2: Hát barátom, egyáltalán nem így van a másodfokú megoldóképlet.

x1,2 = [-b +- gyök(b^2-4ac)]/2a

Ha kiszámolod a diszkriminánst, akkor a gyök alatt minusz szám jön ki, tehát nincs valós gyöke a felírt egyenletnek, komplex megoldást meg gondolom nem vár el a feladat.

Megoldás gyanánt én a következőre tudok gondolni így hirtelen (persze lehet, hogy van egyszerűbb és szebb megoldási módja is):

0.0) Mindenek előtt gondoljuk át a függvényt: Mivel ez egy x^2 típusú függvény, ezért arról tudjuk, hogy egy minimumpontja van és ezt leszámítva mindkét oldalon tart a végtelenbe.

0.1) Esetleg azt érdemes lenne megvizsgálni, hogy nincs-e lefordulva a függvény (mivel akkor minimum helyett maximuma lenne), ezt megtehetjük pl. úgy, hogy "x" helyére behelyettesítünk valamilyen számot, mondjuk 1-et:

6^2−8+10 = 38

Mivel pozitív értéket vesz fel x=1-nél, ezért biztos, hogy nincs lefordulva.

1) Na most, ha egyszer deriváljuk a függvényt, akkor abból megkapjuk a lehetséges szélsőértékének helyét, ami ez esetben csakis a minimuma lehet:

f'(x) = 12x-8

12x-8 = 8

12x = 8

x = 8/12 = 2/3

Minimumpontja: 2/3

2) Mivel már a 0. pontban meggondoltuk, hogy ez a függvény mindkét oldalon tart a végtelenbe, ezért a kérdés már csak az, hogy a kérdéses intervallumban ([0;7]) melyik oldalon vesz fel nagyobb értéket a függvény. Ezt megtehetjük mondjuk határérték számítással:

lim x->0 (6x^2−8x+10) = ((6*0)^2-8*0+10) = 10

lim x->7 (6x^2−8x+10) = ((6*7)^2-8*7+10) = 1764-56+10 = 1718

A két szám közül az 1718 a nagyobb, tehát a maximum x=7-nél van és az értéke 1718.

Ha a függvény le lenne fordulva, akkor nyilván az első deriválttal a maximumát kapnánk meg és a határérték számítással a minimumát a megadott intervallumban.