10^x+4^x-2×25^x=0 egyenlet megoldása R-ben?

Átírva:

[link]

Sajnos hirtelen nem látom a megoldást, de az kapásból látszik, hogy x=0 megoldása. Gyanús, hogy más nincs is, de ezt még bizonyítani kellene.

10^x + 4^x = 2*25^x

Leosztod 10^x-ennel:

1 + (4/10)^x = 2*(25/10)^x

1 + (2/5)^x = 2*(5/2)^x

Ez egy tök jó alak, mert 2/5 és 5/2 reciprokok.

Helyettesítsük be a

a = (2/5)^x -et, a>0:

1 + a = 2*1/a /*a

a+a^2 = 2

a^2+a -2 = 0

Ennek a megoldásai a=-2 és a=1.

a=-2 nem jó, mert (2/5)^x>0

(2/5)^x = 1

x=0

Ez valóban megoldás, és más megoldás nincs.