F (X) =x^2-4x+3. Igazold, hogy a parabola csúcsa rajta van az x+y=1 egyenlet egyenesén?

Tedd egyenlővé a két egyenletet, így megkapod, hogy az egyenes hol metszi a parabolát.

Ha egy megoldás jön ki csak (mivel ez egy másodfokú egyenlet lesz), akkor az egyenes érintője a parabolának, s mivel ez egy lineáris egyenes, ezért biztosan nem a csúcspontjában fogja érinteni, hiszen ez egy ferde egyenes, vagyis az állítás hamis. Maximum csak akkor lehet érintője a csúcspontnak egy egyenes, ha az az egyenes vízszintes, azaz konstans függvény.

Ha két megoldás jön ki (annyi fog), akkor megnézed, hogy melyik megoldásnál vesz fel kisebb értéket a másodfokú függvény, tehát a kapott két x értéket visszahelyettesíted egyenként, és amelyiknél kisebb eredményt kapsz, az lesz a mérvadó, s azért a kisebb értéket kell nézni, mert a függvényedben a négyzetes tag pozitív előjellel van, tehát ennek a függvénynek a csúcspontja minimum, ahogyan az első válaszoló írta.

Na most mikor ez megvan, akkor az a dolgod, hogy a másodfokú függvényedet egyenlővé teszed a kapott értékkel (számmal), a kisebbik számmal, amit eredményül kaptál, amiről most írtam, és megint megoldasz egy másodfokú egyenletet, és ha itt egy megoldást kapsz, akkor biztosan a csúcspontja...s, hogy miért? Azért, mert itt az történik, hogy ez a szám lényegében egy konstans függvény, vagyis egy vízszintes egyenes, és ha egy megoldás jön ki, akkor az azt jelenti, hogy érinti a parabolát, nem pedig metszi (mert ha metszi, akkor 2 helye metszi).

Egyébként pedig ha ismerünk néhány azonosságot, és függvény elemzéshez is picit értünk, akkor megoldhatjuk így is:

Látjuk, hogy a másodfokú függvény nagyon hasonlít erre:

x^2-4x+4

S ez micsoda? Hát persze, hogy ez:

(x-2)^2

Na de ugye eggyel kevesebb ennél az eredeti függvény, tehát az eredetit felírhatjuk így is:

(x-2)^2 - 1

Ebből meg azonnal látszik, hogy a függvény minimuma -1-nél van (azért, mert a sima szám a négyzetes tag mellett azt jelenti, hogy mennyivel van eltolva az y-tengely mentén), és az is látszik, hogy az x-tengely mentén el van tolva jobbra 2-vel (azért mert a zárójelben -2 van). Tehát a minimuma koordinátái (2,-1)

Ezeket a koordinátákat pedig szépen beírod az egyenes egyenletébe x és y helyére (nyilván az első az x, második az y), és ha tényleg egyenlőséget kapsz, akkor igazoltad, hogy rajta van a parabola csúcsa az egyenesen. Figyi:

2+(-1) -nek egyenlőnek kell lennie 1-gyel ugye...lássunk csodát, egyenlő. :)

#3.

Ha nekem írtad a mondanivalódat, akkor bocsáss meg, de azon az úton is kijön a helyes megoldás, amit az első válaszomban leírtam. A második válaszomban pedig leírtam egy lehetőséget, hogyan láthatja meg egyből a függvény csúcsának koordinátáit.

Ha a deriválás módszerén kívül van még egy módszered a csúcspont megállapításához, kérlek írd le, hadd tanuljak valami újat. Előre is köszi.

Bocsi, ha nem lenne tiszta, akkor az egyenlővé tevést úgy értem az első válaszomban, hogy az egyenes egyenletét átírom ilyen alakba:

y=1-x

És az 1-x lesz egyenlő a másodfokúval.

y = x^2 - 4x + 3 (parabola)

x + y = 1 (egyenes)

------ ------ ------

A parabola csúcsa:

V = (-b/(2*a), -(b^2 - 4*a*c)/(4*a)) = (-(-4)/(2*1), -((-4)^2 - 4*1*3)/(4*1)) = (2, -1)

x + y = 1

2 + (-1) = 1

2 - 1 = 1

1 = 1

Igen, a parabola csúcsa rajta van az egyenesen.