Hogyan lehet bizonyítani az x + 1/x >= 2 egyenlőtlenséget?

Először is fel kell tenni, hogy x > 0, különben értelmetlen/nem igaz.

Viszont ha ezt feltettük, akkor egy pozitív x-szel szorozhatjuk az egyenlőtlenséget:

x^2 + 1 ⩾ 2*x,

x^2 – 2*x + 1 = (x - 1)^2 ⩾ 0,

ami valós x-ekre teljesül, az egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha x = 1.

Számtani és mértani középpel:

Tudjuk ugye, hogy A >= G

Írjuk fel:

(x+1/x)/2 >= √(x*1/x)

x+1/x >= 2*√1

x+1/x >=2

Ezt kellet bizonyítani.

Szerintem ez ránézésre belátható, ha a természetes számok halmazából vesszük az x-et:

Ha x=1, akkor alapból 1-hez hozzáadunk 1/1-edet, tehát 2>=2 igaz lesz.

Ha x=2, akkor 2-höz hozzáadunk valamilyen pozitív számot. Tök mindegy mit, biztos, hogy nagyobb lesz kettőnél.

A többi esetet meg innentől fogva nem is kell vizsgálni, hiszen ha x=3, akkor az már alapból nagyobb 2-nél és akkor még valamit hozzá is adunk.

Vizsgáljuk meg n=1re az esetet:

1+1/1 >=2

2>=2

Igazoltuk.

Nézzük meg n+1 esetre:

1+n + 1/(1+n) >=2

(1+n)^2 + 1 >= 2(n+1)

n^2+2n+1+1 >=2n+2

n^2>=0 ez pedig mindig igaz.

Ez mitől teljes indukció amúgy? Én úgy látom, hogy ez pontosan az első válaszban szereplő bizonyítás az n = x – 1 helyettesítéssel.

A másik, amit a 4. hozzászólástól kezdve nem értek, hogy miért csak egész számokra akarjátok belátni? Pont nem az az érdekes része a dolognak… (Amint arra amúgy a 4. hozzászólás is rámutat.)