Matekesek! Ezt az első feladatot hogy kell megoldani?

dT=d (négyzet) x

ez is a feladat része, hogy felismerd milyen kooridáta rendszerben kell integrálni.

Amit az első válaszoló írt, az teljesen jó és szemléletes. Ha nagyon a képletekhez akarunk ragaszkodni, akkor a leírt hengerfelület pontjait mondjuk φ-vel és z-vel a következő módon paraméterezhetjük:

r(φ, z) = (2*cos(φ), 2*sin(φ), z),

ahol 0 ≤ φ < 2*π és 0 ≤ z < 4.

Elöljáróba ezen kívül még annyit, hogy ha az (x, y, z) egy olyan vektor, amire ez teljesül, akkor

gyök(x^2 + y^2) = gyök((2*cos(φ))^2 + (2*sin(φ))^2) = 2*gyök(cos(φ)^2 + sin(φ)^2) = 2.

Ezzel a felületi integrál:

int(gyök(x^2 + y^2), r ∈ S) = int(int(2*|∂r/∂φ × ∂r/∂z|, φ = 0..2*π), z = 0..4).

∂r/∂φ = (–2*sin(φ), 2*cos(φ), 0),

∂r/∂z = (0, 0, 1),

(–2*sin(φ), 2*cos(φ), 0) × (0, 0, 1) = (2*cos(φ), 2*sin(φ), 0),

ennek nagysága pedig gyök((2*cos(φ))^2 + (2*sin(φ))^2) = 2.

Tehát az integrál továbbírva:

int(int(2*2, φ = 0..2*π), z = 0..4) = int(4*2*π, z = 0..4) = 8*π*4 = 32*π.

[link]

> „a leírt hengerfelület pontjait mondjuk φ-vel és z-vel a következő módon paraméterezhetjük:

r(φ, z) = (2*cos(φ), 2*sin(φ), z),

ahol 0 ≤ φ < 2*π és 0 ≤ z < 4.”

Szóval

S = {r(φ,z) = (2*cos(φ),2*sin(φ),z) | φ ∈ [0,2*π) ∧ z ∈ [0,4)}

(avagy S az azon r helyvektorok által kijelölt pontok halmaza, amikre r(φ, z) = (2*cos(φ), 2*sin(φ), z) alakban írhatók, ahol 0 ≤ φ < 2*π és 0 ≤ z < 4).

Látom sikerült jól túlbonyolítani, még egy egyszerű henger paraméterezését is...

Legyen X=[cos(u),sin(u),v]^T a paraméterezés. Ha definíció szerint akarunk számolni, akkor kell az

|(dX/du) x (dX/dv)| keresztszorzat abszolútértéke, ami most 1.

Azaz a konstans 1 skalárfüggvényt kell integrálni u=0,...,2pi és v=0,...,4 integrációs határok mellett. Ez még barátok között is 8pi eredményt ad. Tehát amit #1 ír, az totál hülyeség.

> „Tehát amit #1 ír, az totál hülyeség.”

Jaja, mindenki hülye, csak te vagy helikopter…

Kérdező, ne hallgass erre a szerencsétlenre, ha a henger alapkörének egyenlete x^2 + y^2 = 4, akkor a sugara 2, és nem 1.

Közben látom, ezt javította, de a keresztszorzással/a vektorok abszolút értékével még mindig gondjai vannak.

Közben látom, azt is javította, már biztos csak a függvényértéket hagyta ki a játékból, ami a hengerpalást pontjain 2 (nem pedig 1, mint az 1 sugarú hengerén volt), és akkor máris meglesz neki is a 32*π.

Persze ez egy elég egyszerű feladat, amit csak rettenetesen slendrián hozzáállással, és kevés gyakorlattal lehet elrontani. Javaslom, hogy oldjon meg egyszerűbb algebrai feladatokat is, például törtegyütthatós lineáris egyenleteket, mert nagy szüksége van a számolási rutinra!

(Mire ezt elküldöm, lehet, hogy negyedjére is javítja magát. Bár valószínűbb, hogy most még egy darabig írogatni fog, hogy csak azért is 16*π a megoldás, még ha nincs is igaza, és ezt néha fáj beismerni…)

#9: Bevallom igazad van, tényleg kihagytam, hogy a gyökből is 2 lesz, tehát valóban 32*pi a helyes eredmény.

Mellesleg a feladat megoldható más módszerrel is, az elsőfajú felületi integrál definíciója nélkül is, pl. integrálátalakító tételek valamelyikével.