Határozatlan integrálos feladat. Valaki tud segíteni?

Érdemes parciális törtekre bontani a törtet:

(4x+6)/(x^(2)+10x+24)=A/(x+6)+B/(x+4)

4x+6=A(x+4)+B(x+6)

Ebből az alábbi egyenletrendszer kapható:

4=A+B

6=4A+6B

A=9

B=-5

Az integrálandó tört:

∫(9/(x+6)-5/(x+4)dx=9ln(x+6)-5ln(x+4)+c

Először írjuk fel a nevezőt szorzatalakban:

x^2+10x+24=(x+6)*(x+4)

Ez azt jelenti, hogy a fenti tört felírható két tört összegeként, ahol az egyik tört nevezője (x+6), a másik törté (x+4).

Tegyük fel, hogy a két tört felírható A/(x+6) és B/(x+4) alakban, ahol A;B valós számok, ekkor:

(4x+6)/(x^2+10x+24) = A/(x+6) + B/(x+4)

Most szorzunk (x+6)*(x+4)-gyel, ekkor:

4x+6 = A*(x+4)+B*(x+6), kibontjuk a zárójeleket és összevonunk:

4x+6 = (A+B)*x+4A+6B

Azt akarjuk, hogy minden x esetén teljesüljön ez az egyenlőség, azt viszont így tudjuk elérni:

4 = A+B

6 = 4A+6B

Ez egy lineáris kétismeretlenes egyenletrendszer, amelyet meg tudunk oldani, és megoldása: A=9 és B=5, tehát

(4x+6)/(x^2+10x+24) = 9/(x+6) + (-5)/(x+4), közös nevezőre hozással és összevonással ellenőrizhető, hogy a két oldal megegyezik.

Így már csak az összeget kell integrálni, amiről tudjuk, hogy tagonként is megtehetjük, és a tagokra ismert az integrálási eljárás.