Keressük meg az f (x, y) = xy függvény maximumát és minimumát az x^2 + y^2 = 4, y ≥ 0 félkörön! Hol rontom el a megoldást?

Nem világos, hogy hogyan gondolkodsz, de ezekben a bemelegítő példákban az a jó, hogy könnyen tudod ellenőrizni magad középiskolás módszerekkel:

A feltételekből y = gyök(4 – x^2), ahol 2 ≥ x ≥ –2; ezt helyettesítve

f(x, gyök(4 – x^2)) = x*gyök(4 – x^2).

Ennek értéke a határokon:

–2*gyök(4 – 4) = 0 és 2*gyök(4 – 4) = 0.

Deriválva* x szerint

gyök(4 – x^2) + x/2 * 1/gyök(4 – x^2) * (–2*x) = (4 – x^2 – x^2)/gyök(4 – x^2).

Egy tört akkor 0, ha a számlálója 0 (meg még kikötés, hogy most az x nem lehet ±2):

4 = 2*x^2, x12 = ±gyök(2).

Ezt a két értéket beírva

f(x12, gyök(4 – x12^2)) = ±gyök(2)*gyök(4 – 2) = ± 2.

Most még meg lehetne nézni a második deriváltat is, hogy ezek tényleg szélsőértékek, de szerintem hivatkozhatunk a folytonosságra is.

Így a végeredmény, hogy a (gyök2, gyök(2)) maximumhely, és a függvény maximuma 2, a (–gyök(2), gyök(2)) pedig minimum hely, és a függvény minimuma –2. (Ugye ez a két érték határozottan nagyobb/kisebb, mint az intervallum határain felvett érték.)

Amúgy itt is tudod ellenőrizni magad:

[link]

[link]

[link]

Fuss neki még egyszer, ha nem sikerül, akkor megmutatom, hogy szerintem hogyan jön ki Lagrange-multiplikátorral.

--------

*Akár úgy is lehetne, hogy szétszedjük, hogy x ≥ 0-ra

f(x, gyök(4 – x^2)) = gyök(4*x^2 – x^4) = gyök(4 – (x^2 – 2)^2) ≤ 2,

egyenlőség csak akkor, ha x = gyök(2); máshol a függvény nem negatív; x < 0-ra

f(x, gyök(4 – x^2)) = –gyök(4*x^2 – x^4) = –gyök(4 – (x^2 – 2)^2) ≥ –2,

egyenlőség csak akkor, ha x = –gyök(2); máshol a függvény negatív.

Tehát még deriválni se kell.

Ez egy nagyon egyszerű felület, ezt látni kell. Alapból y>=0 van adva.

Tehát az f: (x,y)->x*y-nak ott van maximuma ahol x maximális, és minimuma, ahol y minimális.

A mellékfeltétel egy kör, ebből látjuk hogy

xmax=gyök2 és xmin= -gyök2.

Tehát a megoldás:

minimumhely: P(-gyök2,gyök2)

maximumhely: Q(gyök2,gyök2).

A Lagrange-módszernél meg van egy előjelhibád.

A zérusra rendezett mellékföltétel ugyanis

M(x,y)=x^2 + y^2 - 4

alakú, a multiplikátort jelölje mű.

Ekkor a Lagrange-függvény:

L(x,y)=f(x,y)-mű*M(x,y)

Tehát

L(x,y)=x*y-mű*(x^2 + y^2 - 4)

Ennek kell venned a gradiensét és zérussal egyenlővé tenni azaz a gradL=0 egyenletrendszert kell megoldani x,y-ra (esetleg mű-re):

DL/Dx=y-2*mű*x

DL/Dy=x-2*mű*y

DL/Dmű=-x^2 - y^2 + 4

tehát a megoldandó egyenletrendszer:

(I). y-2*mű*x = 0

(II). x-2*mű*y = 0

(III). -x^2 - y^2 + 4 =0

Az (I) egyenletet beszorozzuk y-nal, a (II)-őt pedig x-el, ekkor:

(I). y^2-2*mű*x*y = 0

(II). x^2-2*mű*x*y = 0

Ebből kapjuk hogy x^2=y^2.

Mivel az y>=0 feltétel volt kikötve, ezért x=y.

Ezt beírjuk (III).-ba:

-2*x^2 + 4 = 0

vagyis x^2=2 ebből x = +/- gyök2 ahogy az elején megmondtam előre.

Egy másik megoldási lehetőség bátrabbaknak:

Az x=ro*cos(alfa), y=ro*sin(alfa) transzformáció a feladatot egyváltozós feltételes szélsőérték-feladatba viszi az eredeti feladatot.

> „Ez egy nagyon egyszerű felület, ezt látni kell. Alapból y>=0 van adva. Tehát az f: (x,y)->x*y-nak ott van maximuma ahol x maximális, és minimuma, ahol y minimális.”

Azt írod „Tehát”. De nem látom a kapcsolatot a két mondat között. Másrészt az x maximális értéke 2, de ott 0 a függvényérték, y minimuma pedig 0, de ott is 0 a függvényérték, és egyik se szélsőérték, amit később ki is számolsz.

A számolás oké, az egyenletrendszer megoldása kicsit máshogy:

A függvény: f(x, y) = x*y,

A feltétel: g(x, y) = x^2 + y^2 – 4,

Ebből: L = f(x, y) – λ*g(x, y) = x*y – λ*x^2 – λ*y^2 + 4*λ.

Ennek a gradiense 0, az 3 egyenlet a 3 ismeretlenre:

(dx): y – 2*λ*x = 0 --> y = 2*λ*x,

(dy): x – 2*λ*y = 0 --> x = 2*λ*y,

(dλ): –x^2 – y^2 + 4 = 0.

(dx)/(dy): x/y = y/x --> x^2 = y^2,

4 – 2*x^2 = 0 --> 2 = x^2 --> x = ±gyök(2).

y^2 = 2 --> y = ±gyök(2), de most ki van kötve, hogy nem negatív.

És aztán ellenőrizzük, hogy ezek tényleg stimmelnek-e, meg természetesen nem felejtkezünk el az „intervallum” széleiről sem. Ez fontos, ne felejtsük el.

> „Az x=ro*cos(alfa), y=ro*sin(alfa) transzformáció a feladatot egyváltozós feltételes szélsőérték-feladatba viszi az eredeti feladatot.”

Akárhogy számolom, a ro és az alfa az két (2, azaz kettő) változó. Értem én, hogy a feltételben csak egy változó lesz, de attól még ez is egy több változós probléma. Másrészt úgy is egyváltozós lesz a probléma, ha a feltételből kifejezzük x-et (ahogy itt is csak annyi történik, hogy a feltételből kifejezzük rót).

Egyszerűbb eszközökkel is meghatározhatóak a szélsőértékek; ha odáig eljutottunk, hogy x*gyök(4 – x^2), akkor szorozzunk be, ha x>=0:

gyök(-x^4 + 4x^2), alakítsuk teljes négyzetté:

gyök(-(x^2-2)^2+4)

Ennek már szépen lehet látni, hogy x=+-gyök(2) esetén lesz maximuma (akkor lesz a négyzetes tag értéke 0, ami ha nem 0 lenne, akkor ki kellene vonni a 4-ből, így 4-nél kevesebbet kapnánk), ami így gyök(-0+4)=gyök(4)=2, persze ebből a -gyök(2) kiesik az x>=0 feltétel miatt. Tehát a maximum:

ha x=gyök(2), akkor y=2, így (x;y)=(gyök(2);2)

A minimum meghatározása ennél sokkal triviálisabb; ha x>=0, akkor mindkét tényező nemnegatív, így a minimum értéke legalább 0. Mivel a másik feltételben x lehet negatív is, ezért a keresett minimum biztosan negatív lesz, így ezzel nem kell foglalkoznunk.

A minimumot innen úgy a legkönnyebb meghatározni, hogy észrevesszük, hogy a fenti (eredeti) függvény páratlan (a koordináta-rendszer origójára középpontosan szimmetrikus), így már adja magát, hogy x=-gyök(2) esetén lesz minimum, ami a -2 lesz (az origóra való középpontos tükrözés esetén a pont képét úgy kapjuk, hogy mindkét koordinátájának előjelét megváltoztatjuk); ha páratlan a függvény, akkor f(x)=-f(-x), nézzük, hogy ez itt teljesül-e:

f(x)= x*gyök(4 – x^2)

-f(-x) = -(-x)*gyök(4 - (-x)^2) = x*gyök(4 - x^2), ugyanazt kaptuk vissza, tehát jók vagyunk.

Ha esetleg ez nem menne, akkor nézzük meg, hogy x<=0-ra hogyan alakulnak a dolgok. Mivel az x itt már negatív, ezért nem mondhatjuk azt, hogy x=gyök(x^2), és ezzel nem szorozhatunk be, ehhez egy kicsit át kell alakítanunk;

-(-x)*gyök(4 – x^2)

Itt már mondhatjuk azt, hogy -x = gyök((-x)^2), (mivel a -x biztosan nemnegatív), és nyilván gyök((-x)^2)=gyök(x^2), így beszorzás után ezt kapjuk:

-gyök(-x^4 + 4x^2), és ezzel már találkoztunk korábban; a gyökös kifejezésnek x=-gyök(2) esetén lesz 2 a maximuma, ami a negatív előjel miatt -2 lesz és minimummá változik.

#3-as nem kéne lepontozni a válaszomat,csak azért mert kiforgatva akarod azt értelmezni.

Az egyenletrendszer megoldásod meg elvi hibás, mert osztasz a multiplikátorral, de nem teszel rá kikötést...

Az én levezetésemben ez a lépés direkt másképp van megoldva, de ez neked nem tűnt fel.

"Akárhogy számolom, a ro és az alfa az két (2, azaz kettő) változó"

Hát igen, aki még a megadott módszert sem tudja alkalmazni... De nem baj, majd megfejted magad, mert hogy én neked nem vezetem le az biztos...

> „Ebből kapjuk hogy x^2=y^2. Mivel az y>=0 feltétel volt kikötve, ezért x=y.”

> „minimumhely: P(-gyök2,gyök2)”

–gyök2 = gyök2? Gratulálok! Nagyon értesz hozzá, valóban!

Már sajnálom, hogy azt írtam, hogy a számolásod rendben van. Ezek szerint nincsen…

> „Az én levezetésemben ez a lépés direkt másképp van megoldva, de ez neked nem tűnt fel.”

Nyilván nem fogom még egyszer pont ugyanazt leírni…

"–gyök2 = gyök2? Gratulálok! Nagyon értesz hozzá, valóban!"

Az x=y a maximumhelyre vonatkozik ha nem tűnt volna fel. Már a levezetésem elején is utaltam, hogy a +/- 45°-os egyenes mentén vannak a szélsőértékek.

Plusz a polárkoordinátás módszer is erre ösztönöz, de úgy látom ez neked egyik füleden be, a másikon ki...

És ráadásul kikötés nélkül osztasz tetszőleges paraméterrel. Még az én időmben erre akkora egyest kaptál volna matek vizsgán, hogy öregapó létedkor is emlékeznél rá...

De hát tudjuk, hogy te már középiskolából is kibuktál, ennél több nem is várható tőled...

> „Az egyenletrendszer megoldásod meg elvi hibás, mert osztasz a multiplikátorral, de nem teszel rá kikötést...”

Igen, ez jogos, sőt, osztottam én mással is. Cserébe előtte már kétféleképpen is megoldottam a feladatot, így világos volt, hogy x és y nem lehet 0, illetve a λ-ról se tartott volna sokból ellenőrizni.

> „#3-as nem kéne lepontozni a válaszomat,”

Én nem pontoztam itt senkit, már évek óta.

> „csak azért mert kiforgatva akarod azt értelmezni.”

Én értelmezni akarom, akárhogy, mert a 21:50-es válaszod első négy sorát sajnos továbbra sem értem.

> „De hát tudjuk, hogy te már középiskolából is kibuktál, ennél több nem is várható tőled...”

Hát igen, de harmadikban még simán megvolt a 4-es szövegértésből, szóval képzeljük el azt a lehetőséget, hogy te írtál le rosszul/hiányosan valamit. Sőt, inkább azt, hogy ugyanezt egy picivel gyakorlatlanabb valakinek kéne elmagyaráznod, például olyannak, akinek nincs még érettségije.

Tehát ez a kérdéses rész, csak hogy egyértelmű legyen:

> „Ez egy nagyon egyszerű felület, ezt látni kell. Alapból y>=0 van adva. Tehát az f: (x,y)->x*y-nak ott van maximuma ahol x maximális, és minimuma, ahol y minimális. A mellékfeltétel egy kör, ebből látjuk hogy xmax=gyök2 és xmin= -gyök2.”

(((BTW miért kell egy-egy mondatodat 8 sorba szétszedni?! Jó hogy nem minden szó/betű után ütsz dupla entert… Nehéz úgy olvasni, hogy minden mondatod kilóg a monitorról. Így a bekezdésekre tagolást se tudod megoldani, pedig az fontos, legalábbis azt mondták harmadikban, bár én nem teljesen értettem.)))

"Igen, ez jogos, sőt,"

Igen? Most esett le? Jó reggelt!

"már kétféleképpen is megoldottam a feladatot"

Itt egyedül én oldottam meg érdemben a példát, és mutattam rá a kérdező hibájára. Amit te csinálsz az inkább kötekedés és bohóckodás. Persze hogy tudatlanként képzetlenül mire fel ez a nagy kötekedésed azt nem tudom...

"illetve a λ-ról se tartott volna sokból ellenőrizni."

Persze, de van akinek még ez sem megy...

"Nehéz úgy olvasni, hogy minden mondatod kilóg a monitorról."

Kilóg? Akkor vásárolj nagyobb monitort azon csak elfér nem? Egyébként minden bizonnyal a képernyőbeállításod rossz. Persze van, akinek még a képarány/képméret beállítása sem megy...

> „Igen? Most esett le? Jó reggelt!”

Ha jól látom, ennél a kérdésnél neked már úgy fél hete nem esett le, hogy a kör területét/henger térfogatát rosszul írtad fel. https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazif..

A formázással kapcsolatban csak arra utaltam, hogyha mindig dupla entert ütsz, akkor szétnyúlik, és ráadásul bekezdésekre se tudod úgy tagolni (bár az szerinted nem is fontos). Például ugyanennél a kérdésnél, ha egymás mellé rakjuk a te fél megoldásodat az egyik speciális esetre, és az én teljes paraméteres megoldásomat, amibe már csak helyettesíteni kell, akkor pont ugyanolyan hosszúak: [link]

Ráadásul a szélsőérték feladatok megoldásának egy fontos lépéséről még csak én emlékeztem meg ennél a kérdésnél, ezek szerint mégse olyan fontos. De még egyszer nem fogom leírni, mert a végén még megtanulod. Remélem, a kérdező majd a követhető megoldás alapján készül, amiben ráadásul már a hibákat is kijavítottuk. (Ebben amúgy köszönöm a segítségedet!) Írsz te jó dolgokat néha, csak komoly forráskritikával kell nézni, mert egy csomó hülyeséget is írsz, és arra sem vagy hajlandó, hogy elgondolkozz rajta, és esetleg kijavítsd/elmagyarázd, ha mégse az.

Én hittem abban, hogy az itteni megoldásodban ez a rész egy szép gondolatmenetet takar, de hiába kérem, nem magyarázod el. Biztos pont akkora baromság, amekkorának látszik:

> „Ez egy nagyon egyszerű felület, ezt látni kell. Alapból y>=0 van adva.

Tehát az f: (x,y)->x*y-nak ott van maximuma ahol x maximális, és minimuma, ahol y minimális.

A mellékfeltétel egy kör, ebből látjuk hogy

xmax=gyök2 és xmin= -gyök2.

Tehát a megoldás:

minimumhely: P(-gyök2,gyök2)

maximumhely: Q(gyök2,gyök2).”