Mi 1 xor y (x) = y (x+1) megoldása?

Mivel:

(x xor a) xor a = x

ezért:

f(x+2) = f(x+1) xor 1 = f(x) xor 1 xor 1 = f(x)

Tehát minden olyan függvény megfelel ennek az összefüggésnek, ami esetén:

f(0) = c

(Ahol c bármilyen szám lehet)

Innen nyilván:

f(2n) = c | n∈ℤ

f(2n+1) = c xor 1 | n∈ℤ

Kettes számrendszerben felírva legyen mondjuk:

c = 1011 0011

f(0) = 1011 0011

f(1) = 1011 0011 xor 0000 0001 = 1011 0010

f(2) = 1011 0010 xor 0000 0001 = 1011 0011

…

> Milyen interpolációs függvény illeszthető rá?

Bármilyen

> Tehát például mi lesz y(0.5) vagy y(i*pí)?

Ezek is bármilyen tetszőleges értéket felvehetnek.

~ ~ ~

A xor művelet a legegyszerűbb Bool-algebrában csak {0,1} halmazon értelmezhető:

0 xor 0 = 0

0 xor 1 = 1

1 xor 0 = 1

1 xor 1 = 0

Nyilván ha van két azonos hosszúságú 0-ákból és 1-esekből álló sorozatunk – mondjuk egy egész szám fix bitszámon ábrázolt kettes számrendszerbeli alakja –, akkor azon bitenként el tudjuk végezni a xor műveletét az azonos helyiértékeken.

Na most ugye ahhoz, hogy az

1 xor f(x)

értelmezhető legyen egyáltalán, az elvárásunk az kell, hogy legyen, hogy f(x) egy meghatározott intervallumba tartozó egészet adjon vissza. Persze lehet x akármilyen halmazba eső szám, lehet akár egész, akár valós, akár komplex szám, a lényeg, hogy f(x) legyen egy értelmezhető fix hosszúságú bitsorozat.

A felírt összefüggés csak f(x) és f(x+1) között teremt kapcsolatot. Illetve közvetett módon f(x) és f(x+n) | n∈ℤ között teremt kapcsolatot. f(x) és f(x+a) között – ha a∈ℝ\ℤ – még közvetett módon sincs összefüggés. Így

[0; 1[ intervallumban f(x) bármilyen tetszőleges értéket felvehet, ezek az értékek egymástól függetlenek, tehát ebben az intervallumban bármilyen függvényt alapul lehet venni, ami fix bitmennyiséget ad vissza. Hiszen f(0); f(0,1); f(π-3); f(0,5); f(√(73)-8); f(0,9); f(0,987654321) között az általad felírt összefüggés semmiféle kapcsolatot nem teremt, nyilván közvetlenül sem, de közvetett módon sem.