Gyök (-1) -nek miért van végtelen sok megoldása?

Mármint miről beszélsz?

A négyzetgyöknek alapból két megoldása van.

De persze akárhányszor körbe foroghatsz az origó körül, így ezek is megoldások.

Csak ezek ugyanúgy néznek ki, mint a többi.

Egy példa:

ha azt mondják, hogy mutass jobbra, akkor megteheted azt, hogy egyenesen jobbra mutatsz.

De megteheted azt is, hogy először körbetekered a karod, és csak utána mutatsz jobbra. Vagy kétszer tekered körbe. Vagy 22-szer.

Vagy 222828238-szor.

Na, ÍGY van végtelen megoldás.

Ugye legyen x = a + b*i + c*j + d*k, ahol a, b, c és d valósak. Ennek a négyzete

(a + b*i + c*j + d*k)*(a + b*i + c*j + d*k) =

= a*(a + b*i + c*j + d*k) + b*i*(a + b*i + c*j + d*k) +

+ c*j*(a + b*i + c*j + d*k) + d*k*(a + b*i + c*j + d*k) =

= a^2 + a*b*i + a*c*j + a*d*k + a*b*i – b^2 + b*c*i*j – b*d*k*i +

+ a*c*j – b*c*i*j – c^2 + c*d*j*k + a*d*k + b*d*k*i – c*d*j*k – d^2 =

= a^2 + a*b*i + a*c*j + a*d*k + a*b*i – b^2 + b*c*k – b*d*j +

+ a*c*j – b*c*k – c^2 + c*d*i + a*d*k + b*d*j – c*d*i – d^2 =

= a^2 – b^2 – c^2 – d^2 + (a*b + a*b + c*d – c*d)*i +

+ (a*c – b*d + a*c + b*d)*j + (a*d + b*c – b*c + a*d)*k =

= a^2 – b^2 – c^2 – d^2 + 2*a*b*i + 2*a*c*j + 2*a*d*k.

Ennek kell egyenlőnek lennie –1 = –1 + 0*i + 0*j + 0*k-val, ami négy egyenletet jelent:

a^2 – b^2 – c^2 – d^2 = –1,

a*b = 0, a*c = 0 és a*d = 0.

Ha a nem 0, akkor a második sorba írt egyenletek miatt b = c = d = 0, amit az elsőbe írva a^2 = –1, ami nem lehet, mert a valós. Ezek szerint a = 0. Viszont így a második sorba írt három egyenlet alapból teljesül, és az első egyenlet

b^2 + c^2 + d^2 = 1

nem határozza meg egyértelműen b-t, c-t és d-t; sőt effektíve bármelyik tetszőleges értéket fel vehet a [–1, 1] intervallumon. (Oké, ha valamelyiknek az abszolút értéke 1, akkor az egyértelműen meghatározza, hogy a másik kettő 0, de ha nem ez van, akkor még az egyiket rögzítve is végtelen sokféle lehet a másik kettő. Sőt, ha kettőt rögzítesz, a harmadik még akkor is kétféle lehet.)

Szóval négyzetgyök például a 1/gyök(2)*i – 1/gyök(2)*k vagy az –1/gyök(3)*i – 1/gyök(3)*j + 1/gyök(3)*k vagy akármi, amíg i, j, k együtthatóinak négyzetösszege 1.

Világos?

> „amik lényegében a komplexek, kvaterniók bővítése”

Ha a tered a kvaterniókénak a bővítése, akkor abban ezek (amiket itt levezettem*) mind „négyzetgyökei” lesznek a –1-nek. Tehát ha már a kvaterniók felett végtelen sokan vannak, akkor nyilván a további bővítésekben is.

> „Lehet trükközni, hogy több egységvektor megfelelő együtthatójú összegét vesszük, de nem ez a lényeg ebben a kérdésben.”

Én nem trükköztem semmit. Felvettem egy teljesen tetszőleges x kvaterniót, elvégeztem az x*x szorzást, majd szükséges és elégséges feltétel adtam arra, hogy x*x = –1. (Gondolom, így definiálod a –1 négyzetgyökét…)

Amúgy ha Cayley–Dickson-konstrukcióval definiáljuk kvaterniókat, ezt a levezetést akkor is ugyanígy végig lehet vinni. Ez egyszerű (bár kicsit pepecselős) számolás, mint ahogy az előző válaszom mutatja. Akkor

x = A + B*j = (a + b*i) + (c + d*i)*j,

ahol A és B komplexek, a, b, c és d valósak, j^2 = –1 és i*j = –j*i felel meg k-nak a fenti levezetésben. Ennek a négyzete kell

–1 + 0*j = (–1 + 0*i) + (0 + 0*i)*j

legyen.

> „de nem ez a lényeg ebben a kérdésben.”

„Gyök (-1) -nek miért van végtelen sok megoldása?” – Éppen ezt részleteztem, szóval nem értelek.

(((> „Érdemes olvasni a kulcsszavakat.”

Ezzel az az egyik baj, hogy válaszírás közben nem látszanak. A másik az, hogy azok 'szavak', tehát nincsenek mondatba foglalva.)))

-------

*Egyszer legyen itt tömören a végeredmény: az x = a + b*i + c*j + d*k négyzete –1 akkor és csak akkor, ha a = 0 és b^2 + c^2 + d^2 = 1.

(Ha csak komplexeket engedünk, akkor a j és k irányú komponens 0, és csak a b = 1 és b = –1, tehát a +i és a –i megoldások, ahogy azt a korábbi válaszadók nagyon helyesen megállapították.)

Komplex számok körében a -1-nek is két négyzetgyöke van: i és -i.

Te milyen körben vizsgálódsz?