Van-e olyan véges csoport, melyben a másodrendű elemek száma (a) 2019; (b) 2020?

A kérdés régi, de a válasz érdekelheti a böngészőket. :)

Először is a Lagrange-tétel egyszerű következménye, hogy az n-edrendű G véges csoport tetszőleges g elemének o(a) rendjére o(a)|n.

Következésképp, mivel másodrendű elemeket nézünk, ezért a csoport elemszámának párosnak kell lennie. Világos, hogy egy elem pontosan akkor másodrendű, ha nem az egységelem, és megegyezik az inverzével. Most belátjuk, hogy páros rendű csoportban a másodrendű elemek száma páratlan. Ez egyszerűen adódik abból, hogy ha párosítjuk az elemeket az inverzükkel:

{e}-egységelem

{(g1, g1'),...(gk, gk')}->páros sok elem. Eddig páratlan sok elemet soroltunk fel, az egységelemet, és a különböző elemekből álló inverzpárokat, következésképp csakugyan, a másodrendű elemek száma páratlan. (Ezzel tulajdonképpen azt is kimutattuk, hogy páros rendű csoportban LÉTEZIK másodrendű elem). Ezzel a b)-t, a 2020-asat ki is húztuk a buliból, nincs olyan véges csoport, amiben pontosan 2020 másodrendű elem van.

2019... Nézzük a diédercsoportot. A Dn diédercsoport minden tf^n alakú elemének önmaga az inverze. Például D2019-ben a másodrendű elemek pontosan a tf^n alakú elemek, ahol 1<=n<2019. Ugye a szélsőséges eset itt a 2019-es rész, de ez pontosan egy tükrözés és egy teljesszügű forgatás kompozíciója, így (a szorzást bármilyen sorrendben végezve) egy tükrözést kapunk, és a tükrözés maga is involúció.