A természetes számok halmazán is értelmezhető a kivonás és az osztás?

Persze, hogy értelmezhető. Máskülönben első osztályban nem a kivonást tanultad volna.

Nem az a lényeg, hogy értelmezhető-e, hanem hogy a művelet eredménye minden esetben a halmazon belül marad-e, vagy pedig bizonyos esetekben kivezet-e onnan.

Értelmezni értelmezhető bizonyos megkötésekkel mindkettő, de itt egy másik fogalom keveredik. Matematikailag szépen ezt úgy illik mondani, hogy "az osztás és kivonás nem alkot csoportot a természetes számok felett". Csoportelméletben szokás ezt tárgyalni, hogy ha egy művelet csoportot alkot, akkor az egy olyan struktúra, amire igazak a csoportaxiómák. Összeadásra pl.:

1, tetszőleges halmazelemek x,y-ra mindig igaz, hogy x+y is a csoport eleme,

2, a csoport halmazában található neutrális elem ami bármely más elemmel a x+0=x egyenlőséget kielégíti,

3, bármely három halmazbeli elemre igaz, hogy (x+y)+z=x+(y+z),

4, a csoportban minden elemnek létezik additív inverze: x+(-x)=0.

Itt látható, hogy már az elsővel kapásból megbukik a kivonás és osztás.

Az osztásnak amúgy sincs mindig eredménye (nullával osztás, ugyebár), tehát már ismerünk egy műveletet, aminek nem mindig van eredménye. Így a kivonás és az osztás is értelmezhető a természetes számokon, de nincs mindig eredmény.

Például, ha a kisebbítendő kisebb, mint a kivonandó, akkor a különbség nem létezik.

Hasonlóan, ha az osztandó nem osztható az osztóval, akkor a hányados nem létezik, mintha nullával osztanánk.

"Így a kivonás és az osztás is értelmezhető a természetes számokon, de nincs mindig eredmény."

Remélem, hogy nincs diplomád, mert egy ilyen kijelentés után tudományos témakörben remélem, hogy visszaadod... Ha valami nem értelmezhető, akkor nem "nincs eredménye", hanem nem is beszélhetünk róla, hogy egyáltalán bármilyen eredmény kijöhetne belőle, hiszen nincsen értelmezve.