Integrál sqrt (16-x^2). Ki tud segíteni?

Azt azért jó lenne tudni, hogy melyik részét nem érted belőle, vagy hogy mennyire vágod a helyettesítéses integrálást, hiszen majdnem minden le van írva. AZért megpróbálom.

Először is x = 4*sin(u) helyettesítést alkalmazunk. Hogy miért? Azért mert ennek a négyzete 16sin^2x, így az integrál belsejében a gyök alatt 16-16sin^2u = 16(1-sin^2u) lesz. Mivel 1-sin^2u = cos^2u, ezért a gyök alá ez jön ki:

16cos^2x aminek a gyöke 4cosu

Másrészről dx = 4*cos(u), hiszen a sinx deriváltja cosx

Így behelyettesíthetjük a kapott két értéket az integrálba:

integral(sqrt (16-x^2) dx ) = integral(4cosu*4cosu) = 16integral(cos^2u). Ha pedig már ilyen példákat oldasz meg, szerintem a cos^2u-t már simán tudod integrálni a cos2u = cos^2u-sin^2u-t átrendezve:

cos2u = cos^2u - (1-cos^2u) = 2cos^2u-1

(1+cos2u)/2 = cos^2u

Az eredmény le van írva. Talán még a visszahelyettesítés nem egyértelmű az utolsó lépésnél.

Ugye ha x = 4*sin(u), akkor u = arcsin(x/4)

Ezt helyettesítjük vissza a kapott 8u+4*sin(2u)-ba

8u = 8*arcsin(x/4), ez egyszerű, de nézzük a másikat:

4*sin(2u) = 4*sin(2arcsin(x/4)) ugye azt tudjuk, hogy sin(arcsinx) = x, viszont itt 2* szerepel a sinuszon belül. Használjuk a sin2x = 2sinxcosx azonosságot:

4*sin(2arcsin(x/4)) = 8sin(arcsin(x/4))*cos(arcsin(x/4)) = 8*(x/4)*cos(arcsin(x/4))

8*(x/4) = 2 * x

cos(arcsin(x/4)) ra használjuk a cosx = sqrt(1-sin^2x) azonosságot

cos(arcsin(x/4)) = sqrt(1-sin^2(arcsin(x/4))) =

sqrt(1-(x/4)^2) = sqrt(1-x^2/16) = sqrt(1/16*(16-x^2))=

1/4*sqrt(16-x^2)

Mindezeket vissza írva kapjuk, hogy

2*x*1/4*sqrt(16-x^2) = 1/2*x*sqrt(16-x^2), így jött ki minden ami oda van írva :)

Remélem tudtam segíteni, ha mégsem írj, hogy pontosan melyik lépést nem érted és miért.