Egy kör két merőleges húrja a és b, illetve c és d hosszúságú darabokra osztja egymást. Mekkora a kör sugara, ha a^2+b^2+c^2+d^2=20?

Nagyon érdekes, szép feladat.

Készítettem hozzá egy mozgatható ábrát, hogy rájöjjél a megoldásra:

[link]

Ha nem tudod betölteni, szóljál!

20 = 4 r^2

r = gyök(5)

Na, majd máskor kísérletezel a Java elérésével.

Most itt van egy fénykép:

[link]

Az a csodálatos, hogy ENNÉL a sugárnál az A és B pontokat akárhová tolom, a négyzet-összeg ugyanannyi marad

(Ezt persze jó lenne bizonyítani is) Akkor hova érdemes állítani a két húrt? ( a középpontba) Akkor mekkorák a, b, c, d ? (mindegyik r). Ezt behelyettesítve: (4r^2=20),

gyököt vonva (r=négyzetgyök(5), ahogy a másik válaszoló is írta.

Tényleg szép feladat!

Az algebrai megoldást lásd a következő ábrán:

[link]

A húrszeletek négyzetösszegének bizonyításához egy régebbi feladat megoldása segíthet.

Ebben bizonyítva van az a tétel, miszerint egy merőleges átlójú négyszögben a szemben fekvő oldalak négyzetösszege azonos és állandó.

Az ábra itt látható:

[link]

Ennek eredményét a feladat megoldását mutató ábrára alkalmazva írható:

A² + C² = B² + D² = K

Az oldalak négyzetét felírva

A² = b² + c²

B² = a² + c²

C² = a² + d²

D² = d² + b²

Az egyenleteket összeadva

A² + B² + C² + D² = 2(a² + b² + c² + d²)

A bal oldalt átcsoportosítva

(A² + C²) + (B² + D²) = 2(a² + b² + c² + d²)

Az első egyenletet figyelembe véve

2K = 2(a² + b² + c² + d²)

vagyis

K = a² + b² + c² + d²

Az összefüggés érvényessége független a kör sugarától!

DeeDee

***********