Ha végtelen sok, de végtelen kicsi számot összeadunk, akkor az eredmény mennyi lesz?

Két végtelen halmaz "ugyanakkora" ha elemei között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létesíthető.

A természetes számok és az egész számok között létesíthető.

A valós számok és a természetes számok között nem.

Gyök 2 irracionális, és minden véges tizedesjegyű számnak megfelel egy racionális szám, tehát gyök 2 csak végtelen tizedesjegyű lehet.

A probléma a kérdésben van. Nincs olyan, hogy végtlenül kicsi szám, legalábbis úgy, ahogy te elképzeled.

Az a baj, hogy a végtelen a fejedben úgy szerepel, mintha szám volna, baromi nagy szám, nagyobb a milliárdnál és millárdnál, de valahol ott csücsül a számegyenesen. Csakhogy a végtelen az nem egy szám, hanem egy szabály: mész mész a számegyenesen, de sosem érsz oda, Ha gyorsabban mész, akkor sem érsz oda.

Ha megnézed, tudunk végtelen tizedestörteket vagy végteken hosszú számsorokat generálni, pl.

1/3 = 0,33333 3333333 333333 333333

De ez a szám valójában egy létrehozási szabály miatt végtelen: "minden 3-as mögé írhatunk egy másik 3-ast".

Olyan számot viszont nem tudsz létrehozni, amiben végtelen darab valami után egy másik számjegy jön. A végtelen darab valami ugyanis egy létrehozási szabály, nem pedig egy darabszám, azazhogy a "valami" után mindig, mindig, mindig egy ugyanolyan "valami" jön.

Tehát például nem tudsz olyan számot mondani, ami így néz ki: 0,000001, csak a 0-k száma végtelen.

Éppen ezért van az, hogy ha elkezded összeadni az 1/3 értékét önmagával, akkor ezt kapod:

1/3 = 0,333333...

1/3 + 1/3 = 0,6666666...

1/3 + 1/3 + 1/3 = 0,99999999...

És valójában 0,9999999... = 1 (Ami logikus, mivel 3 * 1/3 = 1.)

Ahogy az előbb valaki írta, végtelen sorozatok képesek egy konkrét számhoz tartani. A végtelen azonban itt sem egy szám, hanem egy létrehozási szabály: adjuk mindig az előző szám felét a sorozathoz (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ...). Soha nem fogsz elérni egy számot, aminél kisebbet már nem fogsz tudni létrehozni, ha mindig elfelezed az előzőt.

Vagy nézzünk még egy szabályt:

Kezdjük el összeadni a 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 stb számokat, azaz mindig az előtte levő tizedét hozzáadva.

Az eredmény ez lesz: 0,11111111..., ami pedig pontosan 1/9. De ahogy az előbb írtam, sosem fogsz eljutni oda, hogy 0,00000...00001, ahol végtelen darab a nulla.

Valójűban egyetlen olyan számcsoport van, amiben végtelen darab nulla szerepel, és ezek az egész számok:

1,000000... = 1

0,000000... = 0

Ezért aztán ha valami 1-nél kisebb, nem negatív és végtelenül kicsi, az 0, vagy ha nagyobb 0-nál, akkor nem lehet végtelenül kicsi. Nem tud egyszerre végtelenül kicsi is lenni meg nagyobb 0-nál is.

"Igazából annyit tudok mondani róla, hogy végtelen kicsi, de mégsem nulla :)

Mellesleg végtelen kicsi és végtelen kicsi között nincs különbség. ha egy végtelen kicsi nagyobb mint a másik végtelen kicsi, akkora kisebbik már nem végtelen, mert van nála nagyobb."

Olyan szám nincs. Ha nagyobb mint 0 és osztod 2-vel akkor kisebb számot kapsz. Minden 0-nál nagyobb számnak ami 1-nél kisebb létezik legalább 1 db véges sokadik tizedesjegye nagyobb mint 0. Vagyis véges sokszor kisebb minden 0-1 közötti szám mint pl 1.

"Ahhoz hogy egy végtelen összeg értéke véges legyen szükséges feltétele (de nem elégseges pl.: 1 + 1/2 + 1/3 + .... nem véges ) hogy az összegnek csak véges sok tagja legyen bármely számnál nagyobb."

Ez nem igaz. Véges sok tagja nem lehet bármely számnál nagyobb.

"Nekem egy nagyon érdekes elgondolásom van a végtelennel kapcsolatban. Két végtelen ugyan akkora, csak a megközelítése más. Pl. ha a valós számoktól közelítjük meg őket, akkor egy nagyon rövid szakon is el tudjuk érni a végtelent. Ha pedig az egész számoktól, akkor nagyon lassan, de a végeredmény ugyan az, hiszen nincs végük. Csak az egyik meredekebben éri el a végtelent."

Ez nem igaz. Eljutni nem lehet soha, ha az egész számokat vesszük, az más kérdés hogy végtelen sok egész szám van. Ha elkezdem számolni az egész számokat nem fogok soha elérni végtelenig.

Ezen kívül a két végtelen nem is egyforma. A valós számok bármilyen kicsi 0-nál hosszabb intervallumában több szám van mint amennyi egész szám. Cáfolni nem lehet bizonyítani igen.

"És most hogy nemrég szóba jött ez a negatívos dolog, arra is gondoltam, vajon a negatív számok tényleg kicsik? Hiszen nem kicsik, hanem valójában a hiányt jelképezik. A kicsi attól függ, hogy mennyire közel van a nullához, és nem attól, hogy mennyire negatív. Tehát 10 és -10 teljesen egyenlő nagyságúak, csak a -10 egy hiányt jelent. Ez esetben -10 nagyobb mint 0,001, mert az utóbbi közelebb van a nullához."

A te logikád szerint ha egy előjeles pozitív értékű mennyiséget egységnyivel csökkentem csökkentem akkor egyre csökken, egy idő után (amikor 0 alá kerül akkor) csökkentés hatására elkezd nőni, ha meg növelem akkor meg el kezd csökkenni. Vagyis a te számításod szerint -40 °C fok magasabb hőmérséklet mint a 30 °C.

Ahogy te tekinted az az abszolút érték szerinti rendezési reláció.