Hogyan kell bizonyítani, hogy két szám összege irracionális?

Egy szám vagy racionális, vagy irracionális. A kettő közül csak az egyik lehet.

Tegyük fel, hogy összegük racionális, vagyis P és Q valamilyen egész számok:

gyök(2)+gyök(3) = P/Q

gyök(2) = P/Q -- gyök( 3)

Ha az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük:

2 = P/Q * P/Q -- 2*P/Q * gyök (3) + 3

Átrendezve:

2--3 -- P/Q * P/Q = -- 2*P/Q * gyök (3)

Az egyenlet bal oldala biztos hogy racionális szám. A jobb oldalán viszont egy racionális és egy irracionális szám szorzata áll, ami mindig irracionális. ( Kivétel, ha az egyik nulla, de itt biztosan nem nulla.)

Az utolsó egyenlet tehát már ellenmondást tartalmaz,ami azt jeleni,hogy a kiinduló feltevés is hamis volt, vagyis nem igaz, hogy gyök(2)+gyök(3) egyenlő lehetne egy P/Q racionális számmal.

De akkor csak irracionális lehet.