Miért várják el a matematikai pontosságot a matematikában?

Minden területnek megvannak a maga szabályai. Egy festőművész vagy egy dizájner alkalmatlan a feladatára, ha nem tudja a pirosat, gránátvöröset és bordót megkülönböztetni egymástól. Ugyanakkor ha egy pszichológus elemzi egy gyermek rajzát, abban az esetben tök mindegy, hogy valami gránátvörös vagy piros, az eredményen nem változtat.

Egy aztalostól senki nem várja el, hogy századmilliméter pontosan dolgozzon. Ellenben ha egy űrteleszkóp lencséjén ekkora eltérés van, az már használhatatlan, selejt. Egy gyógyszerésztől elvárják, hogy milligramm pontossággal mérjen. Egy szakácsot akkor sem dorgálnak meg, ha egy teljes grammot téved.

Minden területnek, minden szakmának és tudománynak megvannak a saját szabályai. Ezek a szabályok általában tapasztalati úton születnek. Egy olyan elméleti tudománynál, ami a logikára és a precizitásra épül, nem engedhető meg a pongyolaság.

Mennyi a sin 15°? 0,26? 0,2588? Netán gyök 6 - gyök 2 / 4? Ha mondjuk egy asztalos munka kapcsán kell ezt a számítást elvégezni, akkor bőven elég, ha 0,26-tal számol, legfeljebb a kivágott alakzat egyik oldala egy tized- vagy századmilliméterrel nagyobb lesz a vártnál. Senki nem fogja észrevenni, és a szerszámok amúgy sem alkalmasak ennyire precíz méretre vágásra. Ha viszont egy csillagász kérdezi, akkor lehet, hogy a 0,2588 is még pontatlan. Matekórán meg a gyökös alak a nyerő. Miért? Mert az a pontos. Ha egy egyenlet megoldásaként kapsz egy gyökös értéket, akkor azzal az ellenőrzés is pontos lesz. A kerekített érték pedagógiailag sem lenne túl szerencsés (most akkor hogy is van? nem egyezik a bal és a jobb oldal, de mégis jó a megoldás?) Másrészt meg a matematika szellemisége szerint ami eltér a megoldástól, az már nem megoldás. Miben különbözik egy tízezred eltérés egy egész eltéréstől? (Lásd a csillagász és az asztalos, vagy a gyógyszerész és a szakács összehasonlítását. Ami az egyiknek még bőven belefér, az a másiknak már ezerszeres hiba.) És akkor lehetne filozofálni, hogy hol húzzuk meg a pontposság határát, meg lehetne agyalni, hogy az 1000x=5-re most a 0-t elfogadjuk-e megoldásnak vagy sem.

De szerintem felesleges tovább boncolgatni, a matematika egy elméleti tudomány, ami a lehető legnagyobb pontosságot követeli meg. A mérnöki tudományok pedig gyakorlatcentrikusak, az számít, hogy adott körülmények között alkalmazva az a módszer működjön.

A képletekkel kapcsolatban: én is a szétbontott képletek híve vagyok, és a tapasztalatom az, hogy például a másodfokú egyenletnél a tanulók sokkal jobban átlátják, ha külön számítjuk ki a diszkriminánst, és külön x1,2-t, mint ha egy képletbe helyettesítenénk be. De egyébként meg ízlés kérdése.

A matematikusok vs. mérnökök vita meg egyszerű szakmai hiúság, semmi más. Mindenki szerint a saját területe a világegyetem egy és igaz tudománya, és mindenki más csak nagyképű barbár.

A mérnöki szakmában sem lehet orrba-szájba kerekítgetni.

A kerekítgetés valóban egy egyszerűsítés. Na de miért is van ez jelen? Mert sok idő pontosan számolgatni.

A kerekítgetés szokása a régi időkből ered, amikor mindent kézzel kellett számolni, igen nagy volt a hibázás lehetősége és rengeteg időt vett igénybe. Azonban azt megmondani, mit lehet kerekíteni és mit kell bizonyos pontosságig számolni csak sok év tapasztalata képes megadni. Az ecetsav 25°C-on mért disszociációs állandóját is vehetnénk 1,77*10^-5 helyett 2*10^-5 értéknek, hisz egyszerűbb vele számolni. Azonban az apró differencia igen nagy eltérést tud okozni, amikor a pH-t számolgatod.

A modern kori mérnökségnek pedig a múlt mérnöksége adja az alapját. Manapság a kerekítgetős téma nemigen fordul elő - maximum ha fejben becslünk, vagy az iskolában tnauljuk a bizonyos mérnöki témaköröket. Az informatika fejlődésével megjelentek a tervező- és szimulációs szoftverek, amelyek egyszerűen képtelenek hibát véteni a számolás során, és sokkal gyorsabbak is a kézi módszernél. Ennélfogva a kerekítgetés értelmét vesztette.

Azonban ennek is meg van a "hátránya". A manapság tervezett készülékek jóval kevésbé flexibilisek, mint a 30-40 évvel ezelőtt tervezettek. Akkor 40-50% kapacitás-ráhagyást is hagytak, manapság a pontosabb számítások miatt jóval kevesebbet. Ez CAPEX költség szempontjából jó, üzemeltetési szempontból borzalom.

Egyrészt valahol érthető a dolog. Maguk a mért adatok nem pontosak. Ha leméred egy asztal szélességét, akkor valami olyasmi fog kijönni, hogy 110 cm, ha nagyon pontosan méred, akkor is 110,5 cm. Maximum 3-4 értékes számjegy van, pontosabban ritkán mérünk. Ugyanúgy egy Győr-Budapest távolságot légvonalban 123 km-nek mérünk, ritkán van milliméter pontosságú mérés, hogy 123,276 km.

Ha valaki ennek ellenére mondjuk 8 értékes számjegy pontossággal számol, az keltheti a pontosság illúzióját. Gondolom a mérnököknél ez az ok, amiért nem számolnak pontosan.

Érdemes kipróbálni, adott egy feladat.

Adott egy 1,814625 méter sugarú ólomgömb. Az ólom sűrűsége 11344 km/m³. Van egy hold, aminek az átmérője 3474,1 km. A sűrűsége 3344 kg/m³. A kettő középpontja egymástól 4006 km-re van. Ki kell számolni a vonzóerőt. (V=4πr³/3, V=πd³/6, m=ϱV, F=G*m1*m2/r²)

Elsőnek számold ki pontosan, annyi számjegy pontossággal, amennyire ismered, mondjuk számolj 9 értékes számjegy pontossággal.

A második esetben számold ki úgy, hogy minden értéket 3 értékes számjegyig kerekítesz. (Pl. π=3,14, G(gravitációs állandó)=6,67*10^-11), ϱ_ólom=11300 km/m³). Minden részeredményt is kerekíts így.

Aztán vesd össze. Bár a mért adatok három számjegyig voltak pontosak, tehát a hiba ±0,5% volt, a végeredményben majdnem 9,79679787%-os – bocsánat, 10%-os – eltérés mutatkozik. Pedig még nem is kaotikus rendszerről van szó. Ugye az a gond, hogy a különböző értékek összeszorzásával, hatványozásával nem csak az értékek, a pontatlanságok is hatványozódnak. Matematikában használnak is hibaszámítást, egy jobb mérnöknek azt is meg kell tudnia, hogy a kijött eredmény az hány százalékos pontosságú. És nem, nem ±0,5% lesz a végeredmény hibája. De ahhoz, hogy pontosan ki tudjuk számolni a hibát, pont hogy precíz matematikát kell használni, és nem kerekítgetni az értékeket.

Persze a mérnök úgy áll hozzá, hogy fogja, megszorozza kettővel ezt az erőt, és erre méretez mondjuk egy állványt, ami azt az ólomgolyót elbírja, „oszt jóidő”. De egy kaotikus rendszernél, egy parittya manővernél már ennél problémásabb a dolog, ha a számításodban 10%-nyi hiba van, akkor az adott űrszonda rohadtul nem olyan irányba fog menni, amilyenbe szeretnéd, akár bele is csapódhat a bolygóba, vagy 30°-al más irányba indul el, ami nagyon nem mindegy.

A pontosság mérlegelésénél látni kell azt is, hogy mi a pontos feladat, mennyire kell precíznek lenni. Egy Hubble űrtávcső esetén egy 2,4 méter átmérő esetén nem lehet három számjegy pontossággal számolgatni, pont az volt anno a gond, hogy a tükör felületén néhány nanométeres hiba már használhatatlanná tette az egészet.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

A másik kérdés az volt, hogy miért nem parametrikusan számolnak a mérnökök. Elvileg lenne előnye, hiszen legalább a részeredmények kerekítése nem történne meg, így az ebből fakadó hibák nem jelennének meg a végeredményben.

De egy mérnöki számítás túl összetett is tud lenni. Figyelembe kell venni, hogy az ember is téved. A gyártás folyamatában részfolyamatokat is kell ellenőrizni, és ott jól jönnek a részeredmények is. Ha valami gebasz van és újra kell ellenőrizni a számításokat, akkor nem kell végigvinni az egész parametrikus megoldást, hanem jóval egyszerűbb részszámításokat kell ellenőrizni, ami a gyakorlatban praktikusabb.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

De összességében a matematika egy önálló rendszer, bár nem teljesen tudomány, de megvan a maga módszertana. A mérnök nem műveli, hanem felhasználja a matematikát úgy, olyan módosításokkal, ahogyan neki praktikus. De a matematika nem csak erről szól. Egy kettes számrendszerben történő számítást mondjuk használ az informatika is, és egy tömörítésnél nem megengedhető, hogy a kicsomagolásban akár csak 0,000 001%-os hiba legyen. A matematikát minden tudományág olyan pontossággal használ, amilyennel indokolt.

De ahhoz, hogy lásd, milyen következményei vannak a kerekítgetéseknek, ahhoz előbb meg kell egzaktul tanulnod a matematikát, nem kerekítgetve. Ezért van az, hogy mondjuk általános iskolában egy feladat eredményének adott esetben elfogadható a √5 / 3, de a 0,745 356 nem. (Pedig kiszámolva annyi.)

A matematika nem csak számolni, de gondolkodni is tanít, sőt elsősorban ez a matematika oktatás igazi célja. Az emberek nagy része soha nem fog másodfokú egyenletet megoldani, vagy gömb térfogatot számolni. De megtanul analitikusan, logikusan gondolkodva eljutni egy problémától egy megoldásig.

Azért számoltatják veled a részeredményeket, hogy legyen valami gyakorlati képed a világról. Egy ekkorka fémketyerében ekkora erõ szokott ébredni, ennyit szokott mozogni, ennyit szokott melegedni annyi idõ alatt a súrlódástól.

Minél több részeredményt kiszámolsz, annál jobb képed lesz a méretekrõl és a kevésbé kézzelfogható mennyiségekrõl is.

A matematikusok annyira pontosak hogy nem használnak már számokat sem. Minden szám helyére betût írnak, és azzal viszik végig. Ezt szimbolikus számításnak hívják.

Viszont (az elméleti) matematikusokat nem is érdeklik a konkrét megoldások. Nincs senki, aki odamenne hozzájuk, hogy na jó, számolj ki nekem valamit, vagy: most felhasználom az egyik cikkedben leírtakat.

Fogalmazhatunk úgy is, hogy végtelen pontossággal számolnak, de minek, hiszen senkit nem érdekel az eredmény amit kihoznak, még õket magukat sem.

Mint az ismert viccben: "Ah, van megoldás!" -- azzal visszafekszik aludni.

Nem igazán értem a kérdést, mert amire én eredetileg gondoltam az más. Viszont a felvetett kérdések, megállapítások azért hagynak maguk után némi kívánnivalót:

"nálunk az egyetemen azt tanítják, hogy a mérnökök mindig kerekítenek, mert nincs értelme pontosan kiszámolni."

Persze, de ezt mindig úgy kell érteni, hogy a bemenő adatokat (pl. mérési eredményeket) általában hiba terheli.

Nyílvánvaló óriási butaságot követnénk el, ha a végeredményben 28 tizedesjegyet kiírnánk, amit kidob a számológép, vagy excel tábla, mivel az úgy fals ahogy van.

Majd olyat is fogtok tanulni, hogy hibaterjedés, és majd megtanuljátok, hogyha ismert a mért adat hibája (pl. a mérőműszer pontosságából) akkor bizonyos matematikai műveletek után a végeredmény milyen pontos lesz. Ezt nevezik hibaterjedés törvényének.

Tehát nem arról van szó, hogy a mérnök pontatlan lenne, mert a végeredményben nem ír ki minden tizedesjegyet, hanem épp ellenkezőleg! A hibaterjedés törvénye alapján (sorfejtések linearizációja van általában a háttérben) csak annyi tizedest ír ki a mérnök, amennyi igaz is.

Akkor követne el hibát a mérnök, ha kiírná azokat a jegyeket is, amik nem igazak...

"Ha a képleteket egymásba helyettesítem, akkor kapok EGYETLEN EGY képletet, amivel sokkal hamarabb, és pontosabban ki tudom számolni az adott feladatot!"

Igen, és sokszor ez a célravezető. A végeredményben viszont a hibaterjedést figyelembe kell venni!

"Pl. a feladatokban nem -273,15 °C-kal számoltunk, hanem csak -273-mal."

Ez megállapodás kérdése. A végeredményt jelentősen nem befolyásolja.

"Sokszor ki sem írják a tizedeseket, mert "úgysem annyira fontos"

Attól függ hogy hol... Igazából nem tizedekről kéne itt beszélnünk, hanem relatív hibáról.

Ha van mondjuk egy 10m hosszú turbinatengelyed, nyílván felesleges tized, milliméterekről beszélni, mivel ilyen pontossággal gyakorlatilag mérhetetlen.

Viszont ha te pl. 20-as tengelyt akarsz illeszteni, akkor bizony a század mm-ek is számítanak, nem véletlen találták ki a mikrométert...

Szóval ez nagyon függ az alkalmazási területtől.

"Az én tanáraim nem engedik. tehát a feladat megoldása közben nem szabad az "egyképletes" megoldást választanunk, hogy egyetlen egy összesített képletet alkalmazva, abba behelyettesítve rögtön megkapjuk a végeredményt. Mert a tanárok szerint ilyenkor nem látják, hogy jött ki a végeredmény, és a feladattól függően ez az összesített képlet változhat, és akkor hibázunk."

Ezt nem értem. Ha megcsinálod a végképlet levezetését, akkor lehet látni, mi miből következik.

Amit nem szabad, az az, hogy betanulni a végképletet és azt ész nélkül használni.

Ha le van vezetve, akkor nyugodtan elég egyszer behelyettesíteni...

Minek is húrcolnánk számhalmazokat, főleg egy összetett példánál... (Kivéve, ha a részeredmények fontosak, vagy ellenőrzési pontot jelentenek).

"Akkor követne el hibát a mérnök, ha kiírná azokat a jegyeket is, amik nem igazak... "

Ezt úgy kell értelmezni, hogy a mérnök egy intervallumot ad meg válasznak, amibe a válasz beleesik adott pontosság mellett.

Máshogy: az a kifejezés hogy

> 27,240 cm hosszú

a szék lába, magában foglalja a hiba mértekét is, így nem kell külön melléírni. Akár tényleg akkora a hiba, akár csak azt jelzi, hogy lehet hiba.

Ez egy szép magyarázat, bár kétségkívül hamis. Egyrészt, attól hogy az eredmény a számon belül, formailag tartalmazza hogy "há, kerekítettem valahol", nem lesz igazabb. Másrészt, amit a kérdezõ számol, ott nincs hibabecslés. Ott a hibák csak úgy magukba vannak, nem pedig megbecsülve. Azért hagyják el a jegyeket, hogy ne kelljen bepötyögni, gondolom még csak nem is konzekvensen az értékes tizedesek számát tekintve, egy 8 jegyû egészt teljesen bepötyögnek, tizedesjegybõl viszont nem tartanak meg 4-nél többet, akkor sem, ha az egészrésze 1.

Egyébként: én nem tudom, ki hogy van vele, de, amikor én részeredményeket számoltam (nem ma volt), és azokat kerekítve vetettem a papírra, a számológépben a pontos értéket hagytam meg, a végeredményem általában pontos volt. Ezért találták fel a kalkulátort, több rekesz memóriával, két sorral, mûvelethistory-val stb.