Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy a valós számok asszociatívak és kommutatívak?

"Általánosan: Egyáltalán nem nyilvánvaló/egyértelmű/triviális hogy ha egy tulajdonság igaz a természetes számokra, akkor igaz az egész számokra, ..., valós számokra. Erre két példa: 1. van legkisebb természetes szám, de nincs legkisebb egész. 2. minden egész számnak van rákövetkezője, azonban bármely két valós szám között találunk harmadikat.

Konkrétan: [link]

Igen, de én azért hoztam fel az a(b+c)=... egyenlőséget, mert ez érthető módon igaz a valós számokra is!

"Eredetileg azt szeretted volna bizonyítani, hogy a valós számok az összeadásra nézve asszociatívak és kommutatívak."

Így van.

"Amit most írtál az nem a valós számokra és nem a kommutativitásra vagy asszociativitásra vonatkozik."

Persze, mert ilyen alap dolgok bizonyítása olyan bonyolult, hogy még az ELTÉ-n is axiómáknak tekintik.

"Azt, hogy miért nem a valós számokról van szó értem, hogy miért a disztributivitás került a középpontba kevésbé."

Mert azt találtam ki, hogy az legyen.

"Van nekünk egy axiómarendszerünk:

Minden a, b, c pozitív egészre

(01) a + b pozitív egész;

(02) a + b = b + a;

(03) a + (b + c) = (a + b) + c;

(04) tetszőleges n (pozitív egész) tagú összeg tagjai szabadon felcserélhetőek;

(05) tetszőleges n (pozitív egész) tagú összeg tagjai szabadon csoportosíthatóak;

(06) a*(b + c) = a*b + a*c."

Tudnád-e ebből bizonyítani az előbbihez hasonló módon a kommutativitást és asszociativitást úgy, hogy nem használod fel a (02)-(05) pontokat? (Ez ugyanaz, mintha azt kérdezném, hogy a csak a (01) és (06) pontokból álló axiómarendszerből le tudnád-e vezetni az asszociativitást és kommutativitást.)"

A 05-öt eddig sem használtam fel. Csak a 02-t meg a szorzás definícióját, miszerint a*b=b+b+...+b, ahol "a" db "b" van összeadva.

a*b + a*c = (b+b+...+b) + (c+c+...+c) = b+b+...+b+c+c+...+c = b + c + b + c + ... + b + c = b + c + b + c + ... + b + c = (b+c) + (b+c) + ... + (b+c) = a*(b+c)

Vagy mégis csak felhasználtam.....?

Vegyünk három axiómát!

1. a*b = b+b+...+b

2. a+b = b+a

3. (a+b)+c = a+(b+c)

(Ezeket tekintsük axiómáknak! Hiszen csoportokkal meg halmazokkal, meg mindenféle bonyolult dologgal lehet csak bizonyítani! Amiket még egy matematikus sem próbálna meg, noha néhány zseni 400 évvel ezelőtt rájött ezekre! Hihetetlen mellesleg, hogy milyen alap dolgok bizonyítása milyen komoly matematikai tudást követel!)

Ezekből be lehet bizonyítani, hogy:

a*b + a*c = a*(b+c)

(Azért ezekkel bizonyítsunk, mert én lehiszem, hogy zseni matematikusok csoportokkal meg halmazokkal is tudnák bizonyítani ezt, de hosszabb és bonyolultabb lenne, mint az én kétsoros bizonyításom! Tehát ha a fenti 3 állítást axiómának tekintjük, akkor bizony én bizonyítottam elemi matematikai ismeretekkel, hogy a*b + a*c = a*(b+c) !)

Ezek után tovább haladhatunk!

Tekintsük még axiómáknak, hogy:

m+0=m

m*1=m

m*0=0

Ebből, és az előző axiómákból, meg a*(b+c)=ab+ac -ból lehet bizonyítani, hogy a*b=b*a

a∙b = b + b + … + b = b∙1 + b∙1 + … + b∙1 = b∙(1 + 1 + … + 1) = b∙(a∙1) = b∙(a) = b∙a

Tehát az alap axiómák:

1. a+b = b+a

2. (a+b)+c = a+(b+c)

3. m+0=m

4. a*b = b+b+...+b

5. m*1=m

6. m*0=0

Ezekből bizonyítottuk, hogy:

1. a*b + a*c = a*(b+c)

2. a*b=b*a