Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy a valós számok asszociatívak és kommutatívak?

Te ezt csinálod:

Feladat: bizonyítsd be, hogy az ég kék.

Megoldás: mint mindannyian tudjuk, az ég kék. A kék szín pedig kék. Ha pedig az ég kék, akkor ebből következik, hogy az ég kék.

Nem használtad fel a szorzás definícióját. Nem is ismered.

Ha azt kell bebizonyítanod, hogy a=b, akkor az egyenlőség átalakítgatása során nem használhatod fel azt, hogy a=b. Te felhasználtad. (ráadásul több más egyéb mellett, amit nem tudsz bizonyítani)

Ha valamiről egyszer már leírtam, hogy nem igaz, akkor ne hivatkozgass rá továbbra is ugyanúgy, mint a szentírásra, mert baromi idegesítő.

A többi sületlenségről, amit írsz, igazából azt se tudom elképzelni, hogy juthatott eszedbe.

Maradjunk csak a természetes számoknál.

Az, hogy

tetszőleges a, b természetes számokra igaz, hogy a + b = b + a [a természetes számok halmazán értelmezett + művelet (összeadás) kommutatív],

valamint

tetszőleges a, b, c természetes számokra igaz, hogy a + (b + c) = (a + b) + c [a természetes számok halmazán értelmezett + művelet (összeadás) asszociatív],

nem éppen a legnyilvánvalóbb dolog. (Számomra legalábbis.)

Mi az hogy természetes szám? Mi az hogy a természetes számok halmaza? Mi az hogy művelet? Mi az hogy a természetes számok halmazán értelmezett művelet?

Ha "az ember alapból tudja", hogy a természetes számok halmazán értelmezett összeadás asszociatív és kommutatív, akkor bizonyára az előbbi kérdésekre is alapból tudnia kell a válaszokat. De valóban tudja?

Mi az, hogy természetes szám?

A 0 természetes szám? És a 3? Mi van akkor a következőt írom: 'H3ll0!'? Ha egy háromlábú szék lábait belemártod festékbe és nyomot hagysz vele a földön, akkor a nyom egy természetes számot ábrázol, egy háromszöget, esetleg egy háromcsúcsú üres gráfot? És ha én azt mondom, hogy szerintem az inkább a szék lábainak múltbéli helyét?

Nem lenne jobb, ha megállapodnánk valamiben, ami alapján érdemben tudnánk vizsgálni a többi kérdést is?

A helyzet az, hogy nem kell nekünk kigondolni, hogy miről is beszélünk akkor, amikor természetes számot emlegetünk, mások már foglalkoztak eleget ezzel a problémával. Ha valóban precíz matematikai bizonyítást szeretnénk az általad feltett kérdésekre, akkor tisztáznunk kell, hogy miről beszélünk, és még akkor sem elég a "középiskolai algebra"-i tudás, ha a valós számoknak csak az általam kiválasztott részhalmazáról akarunk kimondani valamit.

Mi az, hogy természetes szám? Mi az hogy a természetes számok halmaza?

"Azt mondjuk, hogy az N halmaz, a természetes számok halmaza, ha teljesíti az ún. Peano-féle axiómarendszert:

(P1) N nemüres halmaz és van egy 0 ∈ N kitüntetett eleme.

(P2) Adott egy ': N → N leképezés.

(P3) Nincs olyan n ∈ N, melyre n' = 0.

(P4) Minden m, n ∈ N esetén valahányszor m' = n', mindannyiszor m = n (azaz ' injektív).

(P5) Ha U ⊆ N olyan, hogy 0 ∈ U, és valahányszor u ∈ U, mindannyiszor u' ∈ U, akkor U = N."

Az idézet megértéséhez szükséges fogalmak:

-axióma, axiómarendszer: [link]

-halmaz, halmaz eleme (H, ∈): középiskolában alapfogalmak, bizonyára találkoztál már velük és jelölésükkel.

-részhalmaz (⊆): Az A halmazt a B halmaz részhalmazának nevezzük, ha A minden eleme B-nek is eleme.

-két halmaz Descartes-szorzata, direkt-szorzata (A x B): Az A és B halmaz A x B-vel jelölt szorzatán azoknak az (a,b) alakú elempároknak a halmazát értjük, ahol a ∈ A és b ∈ B.

-bináris reláció, megfeleltetés: Az A és B közötti relációnak nevezzük az A x B halmaz tetszőleges részhalmazát.

-leképezés, függvény (f: A → B): azt mondjuk, hogy az f ⊆ A x B reláció függvény, ha minden a ∈ A elemhez létezik b ∈ B úgy, hogy (a,b) ∈ f. Továbbá ha (a,b1), (a,b2) ∈ f, akkor b1 = b2.

-injektív: egy f: A → B függvényt injektívnek nevezünk, ha tetszőleges (a,b), (c,d) ∈ f esetén teljesül, hogy b = d, akkor a = c.

Az idézet magyarázata:

A (P1)...(P5) pontok külön-külön megfogalmaznak bizonyos tulajdonságokat. Ezek azok a tulajdonságok, amik által felismerjük a természetes számokat. Ha van egy halmazunk amire egyszerre igaz ez az 5 tulajdonság, akkor azt mondjuk rá, hogy az a természetes számok halmaza. E halmaznak az elemei pedig a természetes számok.

A Peano-axiómarendszer tulajdonképpen magát a számolást (a számolhatóságot) írja le:

A (P2)-(P4) axióma mutatja meg, hogy hogyan is számolunk. A ' leképezés jelenti azt, ahogy 0-ról 1-re, 1-ről 2-re ... n-ről n'-re jutunk. Itt n' azt jelenti, hogy n rákövetkezője. A (P1) és (P3) biztosítja számunkra, hogy a halmazunk nem üres, és van olyan eleme amiről indulva el tudunk kezdeni számolni (a 0 nem rákövetkezője egy számnak sem). (P2) kijelenti, hogy tudunk számolni, van "számoló függvényünk". (P4) szerint ha két szám rákövetkezője ugyanaz, akkor a két szám is. A (P5)-öt hívják a teljes indukció axiómájának. Ennek köszönhető, hogy használni tudjuk bizonyításokban a teljes indukciót. Az indokolja az elfogadását, hogy ha veszem a természetes számoknak egy (legyen ez U) részhalmazát, aminek az az elem is eleme (ez a 0), ahonnan elkezdünk számolni és még minden elemnek a rákövetkezője is, akkor végül az összes természetes szám az eleme, mert 0-ról 1-re, 1-ről 2-re ... u-ról u'-re jutok, vagyis igazából ugyanazt csinálom, mint az N esetében. ((P5)-öt egyébként nem mindenki fogadja el, de ezzel most nem foglalkozunk.)

Felmerül a kérdés, hogy létezik-e egyáltalán ilyen N halmaz. Ezzel a kérdéskörrel folytatódik a linkelt pdf. Ezután bizonyításra kerül a teljes indukció tétele (nem keverendő össze a teljes indukció axiómájával), ami elengedhetetlen eszköz ahhoz, hogy beláthassuk a kérdéses tulajdonságokat. Amikor teljes indukcióval igazolunk valamit, ezt a tételt alkalmazzuk. (Ezekkel a részekkel nem kell erőlködnöd, ha nem érted, de nem árt, ha azért nem egyből adod fel.)

Mi az hogy művelet? Mi az hogy a természetes számok halmazán értelmezett művelet?

"A természetes számok halmazán az összeadást, illetve a szorzást rekurzív definícióval adjuk meg oly

módon, hogy tetszőleges m első tagra, illetve első tényezőre megmondjuk, hogy hogyan kell m-hez hozzáadni

a második tagot, illetve hogyan kell megszorozni m-et a második tényezővel:

3.6. Definíció. Tetszőleges m ∈ N(alsóindex0) esetén legyen

m + 0 = m és m + n' = (m + n)',

m*0 = 0 és m*n' = m*n + m.

Vezessük be a következő jelölést: 1 = 0'. Vegyük észre, hogy minden n ∈ N(alsóindex0)–re

n' = (n + 0)' = n + 0' = n + 1."

Újabb fogalmak:

-művelet: Tetszőleges A nemüres halmaz esetén az f: A x A → A függvényt az A-n értelmezett műveletnek nevezzük.

-rekurzió: [link]

-N(alsóindex0): tekintheted N-nek is, a kérdésed szempontjából ez a különbség is elhanyagolható.

Összevetve a művelet fogalmát a definíciónkkal, jogos a kérdés, hogy valóban műveleteket definiáltuk-e a természetes számok halmazán? A válasz igennek kell lennie, de a "lassan éjjel 3"-ra való tekintettel, fogadjuk most el ezt bizonyítás nélkül.

Ha az eddigi fontosabbakat megértetted, azt hiszem nem is kell magyarázni, hogy ebben az idézetben miről van szó. Az összeadás asszociativitásához és kommutativitásához tartozó 3.7; 3.8. és 3.9. tételeket is most már - feltéve, hogy elég világosan fogalmaztam - értened kell.

Ami hátra van még, hogy a tulajdonságok öröklődnek tetszőleges n (n > 2, n természetes szám) tagú összeg esetében. Vagyis "összeadásnál a tagok felcserélhetőek, akármennyi is van belőlük, és bárhogy csoportosíthatóak, akármennyi is van belőlük". Itt is teljes indukciót kell használnunk.

Mivel ahogy látom, szeretsz matekkal foglalkozni, valamint megvan, hogy mit kell bizonyítani, milyen eszközzel, ezt a részét megpróbálhatod te is. [A teljes indukció alkalmazható úgy is, hogy egy adott k-ra igazoljuk az állítást, ezután belátjuk, hogy ha l > k igaz, akkor l + 1 > k is; ekkor minden n >= k-ra igazoltuk az állítást. (Az, hogy így is alkalmazhatjuk a teljes indukciót szintén bizonyítható.)]

Ha nagyon nem megy, esetleg még mindig nem értesz valamit (akár az egészet), nyugodtan kérdezz - van, aki nem azért van itt, hogy elvegye a kedvedet a matektól azzal, hogy rajtad tölti ki a pályatévesztéséből és a kényszer-előadásokból származó frusztrációját, hanem hogy tényleg segítsen.

[Remélem a következő szimbólumok mind láthatóak: → (nyíl), ∈ (eleme), ⊆ (részhalmaza).]