Mitől vannak a Wolframalpha orbitális bar0mságai?

A probléma az, hogy a köztes eredményeket is csak egy bizonyos pontossággal számolja ki. Így a logaritmusok egymásba ágyazásával a véges pontosság miatt a hiba „hatványozódik”. Vegyük csak a kifejezésed egy részét:

ln²(ln(ln(ln(n))))

Kiszámoltam 130 számjegy pontossággal n=16 esetére, de most csak a kerekített értékeket írom le:

ln(16) ≈ 2.772588722…

ln(ln(16)) ≈ 1.01978144…

ln(ln(ln(16))) ≈ 0.01958833…

ln(ln(ln(ln(16)))) ≈ -3.93282128…

ln²(ln(ln(ln(16)))) ≈ 15.467083222…

Most nézzük, mi a helyzet, ha 5 számjegy pontossággal számolunk:

ln(16) ≈ 2.77259 ; hiba: 0.000046085%

ln(ln(16)) ≈ ln(2.77259) ≈ 1.01978 ; hiba: 0.000141259%

ln(ln(ln(16))) ≈ ln(1.01978) ≈ 0.01959 ; hiba: 0.008523676%

ln(ln(ln(ln(16)))) ≈ ln(0.01959) ≈ -3.93274 ; hiba: 0.002066714%

ln²(ln(ln(ln(16)))) ≈ (-3.93274)² ≈ 15.46644 ; hiba: 0.004352609%

Ha most nem 5, hanem csak 3 számjegy pontossággal számolunk, akkor:

ln(16) ≈ 2.773 ; hiba: 0.01483371%

ln(ln(16)) ≈ ln(2.773) ≈ 1.020 ; hiba: 0.021431991%

ln(ln(ln(16))) ≈ ln(1.020) ≈ 0.02 ; hiba: 2.101606612%

ln(ln(ln(ln(16)))) ≈ ln(0.02) ≈ -3.912 ; hiba: 0.529423502%

ln²(ln(ln(ln(16)))) ≈ (-3.912)² ≈ 15.304 ; hiba: 1.054388984%

1 számjegy pontosság esetén a dolog még viccesebb:

ln(16) ≈ 2.8 ; hiba: 0.988652862%

ln(ln(16)) ≈ ln(2.8) ≈ 1.0; hiba: 1.939772558%

ln(ln(ln(16))) ≈ ln(1.0) ≈ 0.0 ; hiba: 100%

ln(ln(ln(ln(16)))) ≈ ln(0.0) ≈ -∞ ; hiba: ∞%

ln²(ln(ln(ln(16)))) ≈ (-∞)² ≈ ∞ ; hiba: ∞%

Mivel itt a nevezőben még további tagok vannak szintén véges pontossággal, és így hibával, ráadásul ennek még a reciprokát is vesszük, plusz még egy végtelen összegről van szó, persze, hogy a hiba jelentős mértékűre duzzad. A WolframAlpha is próbál matematikai összefüggéseken keresztül pontosabb értékekkel számolni, de azért ennek is van határa, nem csodafegyver ez sem. Mérlegelni kell, hogy az adott kifejezés kiszámolásánál mekkora hibára számíthatunk egy véges számjeggyel való számolás során.

A probléma az, hogy e↑↑k esetén megjelennek furcsaságok a nevezőben.

Nyilván n=0 esetén belekerül egy 0-ás szorzó a nevezőbe.

n=‖e^0‖=1 esetén a ln(n) lesz nulla.

n=‖e^1‖=3 esetén ln(ln(n))=0.094047…

n=‖e^e‖ = 15 esetén a ln(ln(ln(n)))=-0.003778235

De eddig nincs gond, hiszen 16-tól kezded az összegzést.

n=‖e^e^e‖ = 3814279 esetén a ln(ln(ln(ln(n))))=-6.667371615… * 10^-10

Ha a nevező tagjait folytatnánk a megfelelő mintázattal, akkor a következő probléma az n=‖e^e^e^e‖ esetén lenne, ahol ennek az ötszörösen iterált logaritmusa lenne nagyon-nagyon kicsi, így nyilván a szumma szaladna meg, és kapna egy olyan tagot, ami ha minden igaz, akkor 10^130-nál is nagyobb tag. Ha a mintázatot a végtelenig folytatnánk, akkor meg a szumma végtelenhez konvergálna.

~ ~ ~

Nyilván nem tudom, hogy pontosan mit is csinál a Wolframalpha. Lehet, hogy vesz különböző nagyságrendű számokat, és megnézi, hogy a nevező hogyan alakul. Lehet ebből azt látja – tévesen –, hogy a nevező az monoton növekvő, és megpróbál ráhúzni valamilyen n-ed fokú polinomot, aminek a végtelen szummájára van zárt képlete. Aztán az eredeti kifejezés szummáját lehet, kiszámolja mondjuk n=10 000-ig, onnan meg az n-ed fokú polinommal közelített értéket adja hozzá, és így kap egy !becslést!. De nyilván nem lángész a Wolframalpha és nem veszi észre, hogy a kifejezés bizonyos helyen egy tűszerű kiugrást mutat. Oké is a dolog, amíg az ember valami valós számítási problémát akar megoldani, és nem egy ilyen teljesen elvetemült képletet akar vele kiszámoltatni.

Ha gondolod jelezd a hibát fejlesztőknek és / vagy a közösségének.

[link]

[link]

Ha meg így írod be :

[link]

akkor meg megint mást ír pedig az interpretált inputnak ugyanazt mutatja. Nem kéne más eredménynek kijönni ha kettő egész vagy kettő egész nulla tizedet írok. Másik téves algoritmus szerint számol. Na de ha annyira foglalkoztat akkor írj nekik!

Ja meg kimaradt hogy triviális, hogy konvergens. A 0-ba konvergál ha [link] kivételesen helyes eredményt ad.

Egyébként nem tapasztaltam sose, hogy rosszul számolna a wolframalpha mielőtt ezt a kérdést láttam volna. Ilyen kifejezést nem is írtam be neki.