Weboldalunk cookie-kat használhat, hogy megjegyezze a belépési adatokat, egyedi beállításokat, továbbá statisztikai célokra és hogy a személyes érdeklődéshez igazítsa hirdetéseit. További információ

Főoldal Belépés/Regisztráció Egy véletlen kérdés Facebook






Kategória: Tudományok » Egyéb kérdések

A kérdés

Miért nem lehet a 111 semmilyen számrendszerben sem négyzetszám? (Bizonyítás)


Keress kérdéseket hasonló témákban: matematika, bizonyítás, algebra, számrendszer, négyzetszám

  szept. 11. 14:24  Privát üzenet  

A válaszok

a^0+a^1+a^2=1+a(1+a)=n^2

(n+1)(n-1)=a(a+1)



A válasz 53%-ban hasznosnak tűnik. A válaszíró 68%-ban hasznos válaszokat ad.
# 1/6Időpont szept. 11. 14:35 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?

tegyük fel, hogy valamelyik szr-ben négyzetszám:


a^2+a+1=n^2

szorozva 4-gyel:

4a^2+4a+4=4n^2

azonos átalakításokkal:

(2a+1)^2+3=(2n)^2

a négyzetszámok sorozatában (1; 4; 9; ...) a szomszédosak különbsége egyre nő, egy kivétellel sosem lesz 3:

csak az 1 és 4 különbsége lesz 3

ez viszont csak a=0 és n=1 esetben jön létre, de a=0 nem lehetséges, mert számrendszer alapszáma



A válasz 69%-ban hasznosnak tűnik. A válaszíró 82%-ban hasznos válaszokat ad.
# 2/6Időpont szept. 11. 18:14 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?
Aki az előzőt lepontozta, kérem, hogy valami indoklást is írjon. Mi abban az indoklásban a hiba?

A válaszíró 82%-ban hasznos válaszokat ad.
# 3/6Időpont szept. 12. 01:35 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?

Nem pontoztalak le, de valószínű, hogy inkább azért pontoztak le, mert miért ne...

Még be kellene azt látni, hogy ha egy A szám négyzetszám egy számrendszerben, akkor az összes többiben (vagy legalább 10-esben) is négyzetszám lesz, ha pedig nem, akkor máshol sem.



A válasz 0%-ban hasznosnak tűnik. A válaszíró 74%-ban hasznos válaszokat ad.
# 4/6Időpont szept. 12. 19:09 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?
dq nevű felhasználó válasza:

Az #1-nek hiányzik a vége, szerintem amire levezette, az nehezebb mint az eredeti feladat.


#4:

Egy x egész szám négyzetszám <==> van olyan y egész, amelyre y^2=x.

Szívesen megnézném, hogyan látod be, hogy ez a tulajdonság független attól, hogy milyen számrendszerben írjuk fel.


---


Egy másik megközelítés:

Def1: két négyzetszámot szomszédosnak mondok, ha nincsen közöttük négyzetszám.

Lemma1: két szomszédos szám négyzete szomszédos.

Biz: ha csak nemnegatív egészekre szorítkozunk, és a négyzetszám definícióját is gyengítjük nemnegatív egészek négyzetére, akkor a négyzet függvény monotonitásából adódik. Aztán vacakolás.


Lemma2: tetszőleges b bázisban a számok nagyság szerinti rendezése megegyezik azzal a rendezéssel, hogy a rövidebb string kisebb, az egyenlő hosszúakon meg lexikografikus rendezés.

Biz: n=1 hosszú stringekre igaz, n-re indukcióval.


Innen a bizonyítás:

Jelölje a számrendszer alapját b, ekkor:

: 10_b^2 = 100_b,

: 11_b^2 = 121_b.

100_b és 121_b szomszédos négyzetszámok (minden b alapra), és 100_b < 111_b < 121_b, így 111_b nem négyzetszám QED.

Ezzel azt is beláttuk, hogy

10x_b és 11x_b és 120_b sem négyzetszámok.

(A lemmákat nem bizonyítottam rendesen. Bizonyítva őket, ez a bizonyítás hosszabb, mintha számokkal dolgoznánk, de, csak úgy felhasználva őket talán valamivel rövidebb – legalábbis polinomok helyett elég csak az együtthatóikat felírni.)



A válaszíró 59%-ban hasznos válaszokat ad.
# 5/6Időpont szept. 13. 08:22 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?
dq nevű felhasználó válasza:

Oupsz, ez csak b>=3-ra jó, b=2-re nem, azt külön meg kell nézni.

Oké, azt hiszem polinomos alakban egyszerűbb.



A válaszíró 59%-ban hasznos válaszokat ad.
# 6/6Időpont szept. 13. 08:26 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?

Értesítsünk róla, ha új válasz érkezik? Válasz küldése



Kapcsolódó kérdések
Honnan tudom eldönteni, hogy a kettes számrendszerben a számom pozitív vagy negatív?
Bizonyítsd be, hogy 2011 ⋅ 2013 ⋅ 2015 ⋅ 2017 + 16 négyzetszám!?
4es és más számrendszerben, hogy kell felírni szorzótáblát?
Lehet-e hetes számrendszerben egy négyzetszám utolsó számjegye 5?
220_b 251_b 304_b ---> Ezek a számok "b" alapú számrendszerben 3 egymást követő négyzetszám. Mennyi a "b"?
Az a, b és c páronként különböző számjegyekre igaz, hogy a tízes számrendszerben felírt a, ab, cb és cacb egyjegyű, kétjegyű és négyjegyű számok mind négyzet számok. Melyek ezek...

Kérdések a Tudományok rovatbólKérdések az Egyéb kérdések rovatból








Minden jog fenntartva © 2019, www.gyakorikerdesek.hu | GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | WebMinute Kft. | Kapcsolat: info (kukac) gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!