Érthetően elmondaná valaki mi értelme a deriválásnak és az integrálásnak?

A deriválást lehet használni függyvényanalízishez. Célja, hogy sokad rangú függyvények karakterisztikája gyorsan meghatározható legyen. Ezzel idő és pénz spórolható, hiszen a függvényt nem kell mínusz végtelentől plusz végtelenig minden egyes pontban meghatározni. Gyakorlati haszna: kereslet-, kínálati-, jövedelem-, termelési (stb.) függvények minimum vagy maximum pontjának megkeresése. Mondjuk a ternmelésben meg tudod határozni, hogy mennyi az a darabszám, ahol az üzem a maximális eredményt hozza. (Nem mindig a termeljük a maximumot a legoptimálisabb.)

Az integrálás módszerével egy függvény alatti terület méretét lehet meghatározni. Gyakorlati alkalmazása geometriai problémák megoldása, statikai feladatok.

A matekosok meg majd mondják, hogy hol lehet még alkalmazni.

van egy adott függvényed, például hogy egy kocsi hányadik másodpercben mekkora sebessggel megy.

A deriválás a függvény adott pillanatban való változását mutatja, az adott példánkban pl. azt érzékelteti, hogy a kocsi sebessége hogy változik, szóval a kocsi gyorsul/lassul és menniyvel az adott pillanatban. Szóval a derivált függvény itt nem más, mint a gyorsulás.

Az integrálás az bizonyos szempontból a deriválás megfordítottja, az emg arról szól, hogy emkkora terület van az adott függvény alatt. Ezzel lehet pl. térfogatot számolni, ilyen kör, gömb, forgástestek képlete meg hasonlókat csak akár nehezebbeket levezetni.

A fenti példában ez olyasmit jelente, hogy ha a függvényem egy pillanatban mondjuk 6m/s mal ment, akokr abban a másodpercben ugye 6métert tett meg, a függvény alatti rész meg akkor összeadva az összes másodpercre, hogy hány métert tett meg alatta - ez kicsit heurisztikus így, de ez a lényege. Ami kijön ebből, hogy a példában szereplő integrálunk pont azt fogja megadni, hogy hány métert tett meg az autónk.

A fizikai erőket, törvények leírására alkalmas, megmondani, hogy akkor mik fognak történni az adott erők hatására (pl. statika, meteorológia), használják közgázban, ami keveset tanultam én kémiát felsőoktatási szinten, ott is volt.

Deriválás az alapja az egész mérnöki, fizika tudományoknak. Rendkívül sokrétű a felhasználása, szóval most a legjobb válasz az lenne erre, hogy mindenhol használják, ezt úgy kell elképzelni, hogy ha beülsz a műszaki egyetem előadására, akkor ott az integrálás, deriválás olyan, mint a szorzás osztás, matematikai művelet.

Legszemléletesebbek talán a fizikai példák. A deriválás a változással van kapcsolatban. x(t) jelentse azt, hogy mennyi az erdőben a nyuszik száma. pl. x=50. a zárójelben a t betű azért van, mert időben változik az x, hiszen vannak rókák, megeszik a nyuszit stb. stb. Az x deriváltja megadja, hogy mennyire gyorsan változik a nyulak száma. Most ezek nem pontos dolgok, ha ennél komolyabb magyarázatot szeretnél, akkor bocsi, és azt se akarom, hogy most okosak belekössenek, hogy nem precíz, amit irok, mert nem is az a célom. Ha x(t) azt jelenti, hogy egy autó egy sík terepen épp hol van.. x(t=0)-ban a 0 helyen volt, x(t)-ben pedig valahol mondjuk a nullhelyhez képest 50m-t tett meg, akkor x(t)=50 abban a t pillanatban. A deriválás itt megadja, hogy x mennyire változik gyorsan, mint a nyuszi esetében is, itt most ennek a szemléletes jelentése a sebesség, amit az autó műszerfala mutat. Ugyanis a sebesség azt jelenti, hogy nagyon kicsi idő alatt mennyit változtatja a helyét az autó. Ha a sebességet deriválod le, akkor a sebesség változásának mértékét kapod, ami a gyorsulás lesz.

Tehát összefoglalva a változások leírására használják. Gimiben ezt mindig kikerülik úgy , hogy azt mondják, hogy legyen állandó a sebesség, nyomás, ilyenek, viszont ez csak ideális esetben van így, ezért szükség van erre. Kezdetnek ennyit tudtam mondani, mert nem tudom, hogy ez hasznos-e, mivel nem tudom, hogy a kérdező milyen ismerettel rendelkezik.

Ne keseredj el, mert hiszen amit nem értesz, az bonyolultnak, misztikusnak tűnik. Mihelyt megérted és megtanulod, egyből könnyű lesz.

Minden különösebb magyarázat nélkül a deriválás arra jó, hogy egy adott görbe, egy adott pontban milyen meredekségű, azaz mekkora az iránytangense a hozzá húzott érintőnek. Egy szinuszfüggvény adott pontját mutatja az ábra.

[link]

Itt meg egy a-tól b-ig tartó integrál látszik.

[link]

Tehát integrálással két adott x érték között a görbe alatti területet tudom megmondani.

A függvények úgy általában két... ööö izé közti összefüggést írnak le. (Izé helyett "mennyiséget" akartam írni, de persze ez nem lenne igaz, mert függvényt tényleg bármilyen két izé-halmaz közt is meg lehet adni... de ez nem tartozik ide.) A sebesség és a megtett út összefüggését. A sebesség és az eltelt idő összefüggését. Az eltelt idő és a megtett út összefüggését.

A megvásárolt cukorkák száma és a megvásárolt cukorkák ára közti összefüggést.

Mindegyiket fel lehet úgy is fogni, mint egy "ha..., akkor ..., ha pedig ..., akkor ..." típusú megállapítás- vagy szabálygyűjteményt. "Ha egy zacskó cukrot veszel, akkor 5 forintot fizetsz, ha 6 zacskó cukrot veszel, akkor 6*5 forintot fizetsz, ha 4 zacskót akkor..."

Csak nem így egyesével mondják el, hanem egyben az összeset: bármennyi zacskó cukorkát veszel, annak az ötszöröse darab forintot kell érte fizetned. Ha x zacskóval veszel, akkor 6 x forintot. Ha az ár az y, akkor y=5x.

Az ám, csak nem minden "szabálygyűjteményt" lehet ilyen szépen egyszerűen leírni.

A fenti példában bármennyi cukorkát is tettél már a kosárba, biztosan tudhatod, hogy ha még egyet odateszel, az 5 forinttal fog többe kerülni. Ehhez nem kell tudnod, hogy mennyit raktál már a kosárba.

Pedig ugye adott esetben ez a lényeges információ - mert modjuk csak azt tudod, hogy az összes vendégnek vettél már egy zacskóval, bár nem emlékszel, hogy az mennyi is, mert úgy dobáltad be a polcról, hogy három a jóskáéknak, meg még öt a pistáéknak stb, és aztán hirtelen eszedbe jut, hogy igazából a szomszéd kisfiú is lehet hogy szereti, akivel vagy összefutsz vagy nem - de persze őneki csak akkor vennél cukorkát, ha olcsó, mert hát egyrészt nem annyira ismered másrészt nem is biztos hogy szereti harmadrészt nem is biztos hogy találkoztok. De semmi gáz, mert minden további cukorka 5 forint, függetlenül attól, hogy mennyit vettél már eddig, így el tudod dönteni, hogy az sok-e vagy kevés, és hogy végül veszel-e ennyiért egy extra darabot.

De mi van, ha a kereskedőnek rafináltabb szabályokhoz szottyan kedve?

Például 10 darabig minden darab 15 forint, amit 10 és 50 közt veszel, azok már csak 10, 50 és 200 közt meg csak 5 - viszont ennél többet nem tart a kereskedő a polcon úgyhogy ott vége is a "függvényednek" (szabálygyűjteményednek).

(Egyébként pl. a személyi jövedelem adó függvénye ilyen, csak az persze nincs maximalizálva :D).

Ilyenkor ugye az van, hogy ha a kisfiú cukorkája a 7. zacskó, akkor 15 forintodba kerül, de ha a 107-edik, akkor csak 5-be. És lehet, hogy te pont 5-öt még adnál érte, egye fene, de 15-öt már nem, mert nincs nálad több apró a buszjegyre hogy hazamenj.

Ilyenkor már megszámolod hogy hány zacskó van már a kosaradban, és aztán a szabálygyűjteményből el tudod dönteni, hogy most akkor kell-e neked az a plusz egy zacskó, vagy inkább bocs mégse.

És a helyzet még ennél is lehet bonyolultabb, mert mi van, ha minden egyes cukorka mindig egy forinttal drágább, mert titokban a kereskedő szeretné megenni az összeset és néhányat még csak-csak odaad olcsón de túl sokat nem??? (tegyük fel, hogy hat éves "kereskedőről" van szó véges cukorkakészletekkel :DDD). Akkor aztán tényleg pontosan kell tudd, hogy hanyadik zacskónál jársz, ha el akarod dönteni, hogy érdemel-e a szomszéd kölök annyiért édességet...

És az a pláne, hogy a kereskedő akár tök random szabályokat is kitalálhatna. Például minden zacskót egyesével áraz be, szép sorban, úgy, hogy feldob egy érmét, és ha fej, akkor féláron, ha meg írás, akkor dupla áron adja.

Ha ő a gördülékenyebb ügyintézés kedvéért reggel fél óráig csak pénzt dobál, és felírja sorban az eredményeket, és aztán az alapján mondja meg az árat, akkor őneki van egy szabálygyűjteménye, ami szép sorban megmondja, hogy az aznapi 126. zacskó, ami a te 7. zacskód, 2.50-e, vagy épp 16. De ha már a 127. lenne, lehet, hogy nem ugyanannyiba kerülne, és lehet, hogy pont ettől függ, hogy a buszjegy mellett jut-e még a kölöknek nasi.

Ezeket a helyzeteket, amiket eddig leírtam, nem csak abból a szempontból vizsgálod az életben, hogy most a 20. zacskó mennyibe kerül, illetve _általában_ alapból nem ebből a szempontból vizsgálod, hanem azt nézed, hogy van 250 forintom, abból mennyi zacskó jön ki, vagy hogy kell nekem 15 zacskó, az hány forintba is fog kerülni. Vagyis nem a +1-edik zacskó árát szeretnéd megtudni (ami az összes zacskó függvényében változik), hanem az összes zacskó együttes árát (ami szintén az összes zacskótól függ).

Szóval kétféleképp írhatja ki a kereskedő a szabályokat:

* vagy úgy, ahogy eddigi példáimban, azt adja meg, hogy "minden további zacskó" mennyibe kerül az összes megvásárolt mennyiségtől függően,

* vagy pedig azt mondja meg, hogy mennyi az össz ár a megvett zacskók számától függően (pl. a zacskók számának ötszöröse, vagy a zacskók számának négyzetgyöke, vagy 5 zacskóig ötszöröse 5 zacskótól háromszorosa - ekkor ugye vicces módon 6 zacskó csak 18 az 5 meg 25, ki az a hülye aki nem vesz még egyet... - vagy a zacskók számának négyzete, vagyis nagyon meg akarja enni az utolsó hármat a 10-ből :D... vagy bármi más szabály/függvény, amit épp ki tud ötölni).

A vicc az, hogy bármi is a szabály, mindig ki tudja írni mindkét féle képpen, mert az egyik a másikból kikövetkeztethető, kiszámolható.

Ha nagyon bonyolult a szabály, akkor lehet, hogy csak úgy, hogy minden egyes zacskóhoz végigszámolgatod (mit pl. a pénzfeldobálós példában), de az egyikből akkor is mindig kiszámolható és felírható a másik, legfeljebb ronda és bonyolult lesz a szabály, amit így kapsz.

Amikor az összes ár (y) kiszámolásához szükséges szabályt ismered (pl. a megvett zacskók számának négyzete (xnégyzet) - úgy látszik, a hat éves kereskedőpalánták eladási módszerei passzolnak legjobban a deriválás és az integrálás szemléltetéséhez :DDD), és abból találod ki/vezeted le, hogy a megvett zacskók számától függően mennyibe is fog a következő zacskó kerülni, az olyan, mint a deriválás.

(óvodás kereskedőnk esetében az új szabály egész könnyen kikövetkeztethető: ha az árat négyzetekkel ábrázolod, akkor az eggyel több zacskó egy mindkét irányban eggyel nagyobb négyzetet jelent, az x. zacskónál ez ugye 2 db x+1 hosszúságú csík plusz egy kis 1*1-es egység... vagyis 2x+1).

Ha viszont fordított a helyzet, ha csak azt a szabályt tudod, hogy hányadik zacskó után mennyibe kerül a következő, mint az szja-előleg számításnál, és ebből a szabályból vezeted le az össz árat meghatározó szabályt, az olyan, mint az integrálás.

Például ha minden zacskó eggyel többe kerül, mint az előző, és az első 2 forint volt, vagyis minden zacskó ára (z) a zacskók számánál kettővel több (x+2), akkor a végső árat úgy kapod meg hogy... képzeld el, hogy sorakozik egymás mellett az összes zacskó ára szép sorban egyforintosokból kirakva, mint egy lépcső - aztán fogsz még egy lépcsőt, egy ugyan olyat, csak fejjel lefelé és megfordított sorrendben, és fölé tolod - vagyis a 2 forintos sorhoz hozzátolsz egy x+2 forintosat (a legdrágább utolsó cukrosszacskó árát), a 3 forintoshoz meg egy x+1 forintosat stb. - és a két lépcső összetolva pont kiad egy téglalapot. A téglalap egyik oldala ugye x; x db sort raktál ki az x db zacskó árával - a másik meg mindig 2+x+2. Vagyis a téglalap területe (x+4)*x, alias xnégyzet+4x.

Az életben általában cukroszacskót csak egész darabot lehet venni, és igazából nics értelme sokat filozofálni azon, hogy hogyan kapod meg az egyik szabályból a másikat, sokkal gyorsabb konkrétan kiszámolni, amikor már tudod, hogy x az most 3, vagy 23. Különösen igaz ez az első esetre, amikor az össz ár kiszámolásához szükséges szabályt ismerjük előbb.

Viszont egy csomó olyan hasznos függvény van a fizikában-kémiában-közgazdaságtanban-mindenben, ami olyan dolgok változását írja le, amit nem "darabban" számolunk. Ha tudod, hogy 15 km/h sebbességgel haladsz, akkor nem csak arra lehetsz kíváncsi, hogy 1 óra múlva hol leszel, hanem arra is, hogy fél perc múlva. Remek, erre valók a törtek - de ha nem ismered a sebességedet, csak a gyorsulásodat (mondjuk mert épp szabadon esel és azt kell eldöntened, hogy mikor nyíljon ki az ernyőd), vagyis nem azt tudod, hogy a magasságod (a megtett út) hogy függ az eltelt időtől, hanem csak azt, hogy minden másodpercben 10 m/sec-mal nő a sebességed, azért akkor egész hasznos dolog, ha ebből a szabályból le tudod vezetni azt a másikat, ami neked hiányzik, hogy tudniillik ha x másodperce esel, akkor hány méter van még hátra (vagyis hányat tettél már meg összesen).

És számtalan más hasonló példa van, amikor vagy csak a szabály változásának szabályát ismerjük, de nekünk a szabály kéne - vagy a szabályt ismerjük, de nekünk a változás szabályára van szükségünk.

És mivel nagyon randa számokról van szó egyrészt, másrészt a tudományban ugye magának a szabálynak a leírása a cél sokszor, ezért kitalálták vala a deriválást és az integrálást, amik arra valók, hogy a szabályból kitaláljuk a szabály változásának szabályát (deriválás) vagy a szabály változásának a szabályából a szabályt (integrálás). Méghozzá nem "egész darabnyi" változással számolva, hanem "végtelenül kicsivel".

Merthogy ezeknél a függvényeknél nincs is értelme "egész darabról" beszélni, mert nincs semmilyen triviális egységük, mindet mi találtuk ki - a távolság magasról tesz a kilométerre és a mérföldre is.

Egyébként nem is működnek máshogy ezek az eljások, csak folyamatos függvényeken. Ezért mondtam korábban, hogy "olyan mint a".

Mindkét módszernek az a gyakorlati haszna, hogy _tök mindegy_, milyen szabály az eredeti, amit ismersz, mindenféle agyalás, négyzetek oldalának számolgatása, forintlépcsők összetologatása és hasonlók nélkül van egy jól bevált módszered, amit bármikor ráereszthetsz erre az ismert szabályra, és kitalálhatod vele a hozzá tartozó másikat. És ami még jobb, utána a konkrét értékeket is ki tudod velük számolni.

Ez azért is nagyon hasznos, mert az ember által kitalált szabályok (pl. a szalámi ára dekánként) általában viszonylag egyszerűek, nagyon gyakran lineárisak ( kb egyetlen szorzással meg esetleg konstans hozzáadásával leírhatóak), de a természetben vagy akár a gazdaságban ez elég sokszor nincs így... és ezeket a bonyolult szabályokat máshogy elég nehéz lenne kezelni, kb beleőszülnénk mire kiszámolgatjuk őket, arról nem is beszélve, hogy nem lehetne velük "továbblépni", még bonyolultabb összefüggések leírásához felhasználni őket.