Bármely szám nulladik hatványa miért 1?

Miért, mennyi legyen?

Egyébként azért 1, mert így illeszkedik a hatványozás szabályaihoz.

Mondjuk ha hatványokat szorzol össze, akkor összeadod a kitevőket:

Például:

(x^2)*(x^3) = x^5

És:

(x^0)*(x^3) = x^3

Viszont ekkor az (x^0) kifejezés értékének 1-nek kell lennie.

Minden számnak az eggyel nagyobb hatványa ugye az, amit megszoroztál az adott számmal. Tehát 3 második hatványa 3*3=9, azaz az első hatványt megszoroztad az alappal (ami ebben az esetben megegyezik).

Ha az eggyel nagyobb hatványt akarod megkapni, azaz itt a harmadik hatványt, akkor a második hatványt (9) szorzod meg az alappal (3), így megkapod a harmadik hatványt, ami 9*3=27.

Ha ez eddig világos, akkor kezdjünk el lefelé gondolkozni. Ha a harmadik hatványt úgy kaptuk meg, hogy a másodikat megszoroztuk az alappal (9*3=27), akkor a második hatványt úgy tudjuk kiszámolni, hogy a harmadik hatványt elosztjuk az alappal (27/3=9). Az osztás ugyanis a szorzás ellentéte. Az első hatványt pedig úgy kapjuk meg, hogy a második hatványt osztjuk el az alappal (9/3=3).

Eddig érthető, ugye?

A sort ha lefelé folytatjuk, akkor a nulladik hatványt az elsőből úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk az alappal (3/3=1). (a -1-esik hatvány pedig majd az 1/3 lesz, ahol a nulladik hatványt osztod el az alappal, de ez most nem kell)

Tehát még egyszer: a nulladik hatványt úgy kapod meg, hogy az első hatványt elosztod az alappal. Csakhogy ez a két szám MINDIG AZONOS! Három első hatványa három, és az alapja is három. Négy első hatványa négy, és az alapja is négy. Ha pedig két azonos számot osztasz el egymással, az eredmény mindig 1.

Na ezért van az, hogy minden szám 0. hatványa 1.

A hatványozást eredetileg csak pozitív egészekre értelmezték, ugye ott elég egyértelmű, összeszorozzuk a számot annyiszor, ahányszor a hatványkitevőben szerepel.

Később igény lett rá, hogy ugyan mi lenne ha kiterjesztenénk ezt a műveletet, 0-ra, negatív, vagy akár tört számokra.

Ezt sokféleképpen megtehettük volna, azt az utat választottuk, hogy az eredeti definíciónál működő műveletek továbbra is ugyanúgy működjenek (tehát pl azonos alapú hatványok szorzásánál a hatványkivetőket összeadjuk).

Az ilyen jellegű kiterjesztést hívjuk egyébként permamencia elvnek.

Így egy kényelmesen, jól használható hatványfogalmat kaptunk, és ebben minden szám nulladik hatvány 1.