Hogyan tudnám elképzelni a hiperkockát (vagy csak a vetületét), a 4. dimenziót? És hogy tulajdonképp mi ez a kettő.

Hát a 4 dimenziós kockát nem tudom elképzelni, de a 4 dimenziós gömböt el tudom, megpróbálom elmagyarázni.

Tehát ha mi 2d-s világban élnék, hogy is élnénk meg egy 3d-s gömböt? Fogja magát a gömb és átmegy a síkunkon, közben mi először látunk egy pontot majd egy egyre nagyobb kört, mígnem el kezd csökkenni a kör mérete, újra már csak egy pontot látunk belőle, és eltűnik. A 3d-s térben hasonlóképp érzékelsz egy 4d-s gömböt, először egy pontot látsz, az gömbbé növi ki magát miközben áthalad a 3d-s téren, és visszazsugorodik, eltűnik. Kockával nehezebb lenne a dolog...

Az biztos hogy valamilyen mozgás során képeződik le erre a dimenzióra.

Itt írnak róluk:

[link]

[link]

[link]

[link]

Volt már a kérdés, elég jó válaszok születtek.

Ha szeretnéd elképzelni, akkor alapvető szemléletváltás kell hozzá - pl. a "4. dimenzió" az nem valami külön dolog. Az magába foglalja a mi egész terünket is, mindenestül, ahogy van.

És ebből a térből van még végtelen ugyanilyen egymás mellé téve a 4 dimenzióban!

Ha szeretnéd ezt elképzelni, akkor alulról kell indulni, alacsonyabb dimenziókból. De itt is fontos, hogy pl. a 2 dimenziót ne úgy képzeld el, mint egy 3 dimenziós térben levő síklapot! Ha 2 dimenzió van - akkor csak az van és kész.

Induljunk el 1 dimenzióból. Mit látsz ott és mit tudsz csinálni?

Csak egyetlen pontot látsz, magad előtt (és tudod, hogy mögötted is van egy, ill. ezen kívüli pontok is léteznek még). Ezt a két pontot csak tükrözni lehet egymásba, mert itt még forgatás nincs!

2 dimenzióban mi a helyzet?

Itt már lehet forgatni (egy irányba, oda-vissza) és többféle módon tükrözni.

De egy ABC háromszöget soha nem tudsz átforgatni a tükörképébe! Ahhoz ki kéne menni a 2 dimenzióból.

A 3 dimenziót elvileg ismered. A 4. dimenzióhoz pedig találnod kell egy irányt, ami _mindhárom_ eddigi irányra merőleges...

Itt egészen új szabályok is előjönnek. Nem lehet pl. csomót kötni, mert minden csomó kibontható úgy is, ha fogod a zsinór két végét. A tárgyakat nem lehet késsel elvágni - ugyanúgy, ahogy 3 dimenzióban sem lehet tűvel.

Még egy csomó szabály van, és érdekes magyarázatokat is lehet olvasni, meg jó pár testet megnézni, amit kitaláltak - keress utána. Ha érdekel, előkeresek néhányat.

Végül: a vetítés egy érdekes dolog. Nagyon ügyesen kell vetíteni, hogy ne torzítsa el a dolgokat - egy normális test vetített képe pl. bármikor lehet végtelen. Ha egy 4 dimenziós testet így vetítesz, még azt hiszed, hogy ez valami különleges test, pedig nem.

Ugyanígy a vetítés eléggé meg tudja változtatni az alakokat: gondolj csak arra, hogy egy sima négyzet vetített képe milyen lehet. Épp ezért, ha egy 4 dimenziós mozgó testet vetítesz, akkor látszólag egészen furcsán változtatja az alakját (pl. egy kocka nő, majd csökken benne) - de ez csak a vetítés miatt van! A valóságban ez csak egy mozgó test. Amikor a kis kockát látod, az messzebb van tőled, mint amikor a nagyot (és persze ugyanakkora a kettő).

Ügyesen kell vetíteni.

A metszetek viszont - bár azok nem torzítanak - teljesen használhatatlanok. Gondolj arra, hogy egy normál kockát hányféleképpen tudsz elmetszeni, és hogy ezek mennyire emlékeztetnek az eredetire. Alig-alig... ezért használják minden hibája ellenére a vetítést.

A 4. dimenziót úgy tudod vizuálisan elképzelni, ahogy egy síkbeli lény a 3. dimenziót. Lényegében sehogy. Próbálkozhatsz trükkös gondolatokkal, amelyek neked segítenek (mint előbb olvashattad), de nem az igaziak.

A természeti jelenségek 3 dimenzióban történnek, megértésükhöz többnyire ennyi elég is. Ezért a hétköznapi életben nincs is szükség több dimenzióra. Vannak azonban olyan bonyolult jelenségek, amelyeknek mélyebb megértéséhez célszerű megvizsgálni a tér szerkezetét, fontosabb tulajdonságait. Kiderül, hogy nagyobb számú dimenzióban is sok minden értelmezhető, sőt, a jelenségek jobban megérthetők.

A magasabb dimenziószámokkal való munkához a vektorgeometriát használják. Az egy dimenziós tér minden pontját meghatározhatjuk egy számmal. A kétdimenziós tér pontjait két számmal tudjuk leírni. Így folytatva, az n-dimenziós tér összes pontját meg tudjuk adni n darab számmal. Ezeket a rendezett számcsoportokat vektoroknak hívjuk, a végpontjuk éppen arra a pontra mutat, amelyet jellemeznek. Minden ilyen vektor megadható annyi speciális "egység" hosszúságú vektorral, ahány dimenziós a tér. Ezeket az egységvektorok kifeszítik a teret, és megadnak egy koordináta-rendszert.

Ebben a koordináta-rendszerben például egy egységnyi négyzet a [1,0], [0,1] egységvektorokkal írható le, és 2^2=4 csúcsa van. A kockát a [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] vektorhármas írja le, és 2^3=8 csúcsa van. A négydimenziós kocka a [1,0,0,0], [0,1,0,0], [0,0,1,0], [0,0,0,1] vektornégyessel írható le, és 2^4=16 csúcsa van.

A sort folytathatod a további dimenziókra.

A vetület más dolog. Egy n-dimenziós testet vetíthetünk az (n-1)-, (n-2)-, stb. alacsonyabb dimenziókba. Sokféle vetítés van, például lehet egy pontból, vagy párhuzamosan. Az utóbbi szerint, ha egy kockát a síkra vetítesz, az eredmény attól függ, milyen a sík és a kocka viszonya. Ha a kocka minden lapja a 3 dimenziós teret kifeszítő síkokkal párhuzamos, akkor az eredmény egy négyzet lesz. Ha elkezded forgatni a kockát, kaphatsz valamilyen négyszöget, esetleg öt- vagy hatszöget is. Próbáld ki. Ha egy pontból vetítesz, az olyan, mint amikor különböző dolgokat fényképezel, és a térbeli testek különböző módon kitakarják a hátteret, amit a fényképen látsz.

Most ezt próbáld meg 4 dimenzióból háromba úgy, hogy pontosa megtartod a vetítés szabályait, csak eggyel több adattal. Ha ismét párhuzamosan vetítesz, kaphatsz eredményül 3 dimenziós kockát. Alkalmasan elforgatva még mindig kockaszerű lesz az eredmény, csak nem derékszögekkel. Másképp forgatva, mindenféle poliédert kaphatsz. A pontos megfogalmazás elég hosszadalmas és igen sok számsorral járna.