Segítene valaki? ABC háromszög síkjában adott D, E úgy, hogy AD=2AB+AC, BE=1/2BC (ezek mind vektorok). Igazolni kell h A, D, E egy egyenesen helyezkednek el.

Sulyponttetel es paralelogramma atloira vonatkozo szaballyal meg lehet oldani. De biztos sokkal egyszerubben is lehet.

No, eloszor rajzold fel a peldat. Vektorok osszeadas gondolom megy. Az ABC csucsu haromszog AB oldalat hosszabitsd meg es merd fel megegyszer ra az AB tavolsagot. A vektor vegen levo bogyot nevezd el F-nek. Ezutan merj fel egy AC-vel parhuzamos es ugyanolyan hosszu vektort F-bol kiindulva. Ennek vegpontja D lesz es igy megkaptuk az AD vektort is, kosd is ossze A-t D-vel.

BIZONYITANDO: HOGY AD SZAKASZ EGY EGYENESEN VAN

AE-VEL. Tudniillik, ha harom nem egybeeso pont es a beloluk alkotott ket vektor egy egyenesen helyezkedik el, akkor a harom pont is trivialisan egy egyenesbe esik.

Az E pontot nyilvan ugy kapod meg, hogy ABC haromszog BC oldalara felmered BC * 1/3 vektort. Ez nyilvan a BC oldal B-hez kozelebb eso harmadolopontja lesz.

Most hogy kesz az abra, mar csak torni kell a fejed, hogy milyen szabalyt hasznalhatsz fel. Peldaul:

-Ha jol megnezed A, F, E es C pontokat osszekotve egy paralelogrammat kapsz. Erre indok: mert AC es FD szakaszok parhuzamosan lettek felmerve es egyenlo hosszuak. Ha AFEC egy paralelogramma, akkor az is igaz, hogy CF es AD pont a felezopontjukban metszik egymast, mert paralelogramma atloira ez a szabaly fennall. Az elobbi paralelogramma atloinak felezopontjat nevezd el G-nek.

-Huzd be a CF elt es figyeld meg az igy kapott ACF haromszoget. Mar korabban behuztad az AD szakasz, aminek ACF haromszogon beluli resze (AG) egyben ACF sulyvonala is. A sulyvonal definicio szerint ugyanis a haromszog egyik csucsa(itt A) es a szemkozti oldal felezopontjat (itt G) osszekoto szakasz.

-ACF haromszogon belul ugyanakkor egy masik sulyvonalat is latsz, az eredeti ABC haromszog BC oldalat, ami azert sulyvonal, mert ACF C csucsat koti ossze a szemkozti oldal felezopotnajval, B-vel. B azert felezopontja AF oldalnak, mert AB hossza AF hosszanak a fele, a kezdeti vektorok miatt.

-Az eddigiekben sikerult felrajzolni tehat ACF haromszog ket sulyvonalat, BC-t es AG-t. A sulyvonal-torvenybol kovetkezik, hogy a ket sulyvonal 2:1 aranyban osztjak egymast, azaz AG sulyvonal BC sulyvonalat a harmadolopontjaban metszi, ami eppen E pont, amit a legelejen felrajzoltal. Ha AG atmegy E ponton az azt jelenti, hogy annak metghosszabbitasa, AD is atmegy rajta, tehat kijelenthetjuk, hogy AD atmegy E ponton!

Vegsosoron tehat van egy AD es egy AE szakaszod. AD szakaszrol elobb belattuk, hogy atmegy E ponton, ezert nyilvanvalo, hogy AD vektorigazabol AE meghosszabbitasa es a ket vektor emiatt egy egyenesen van. Ezzel belattuk a (fenti nagybetus) bizonyitando allitast.

Nincs mit! Utolag mar nem tunik neked sem neheznek, nem?

Gimiben sosem mentek a geometriai bizonyitasok. Ezzel is csak tesztelni akartam, mennyire emlekszem meg :)