Hogyan lehetne ezt a sorozatos feladatot megoldani?

1986-ban a "közgázos" felvételi változatban a 8-ik feladat volt. (Nem csoda, hogy nem találtad.)

A megoldás:

Az első n poz. egész szám összege n(n+1)/2.

Ha letöröljük a k számot, akkor az összeg n(n+1)/2-k.

Ezek átlaga: A=[n(n+1)/2-k]/(n-1).

A k-ról tudjuk, hogy 1 és n között van, ezért az átlag legkisebb értéke: [n(n+1)/2-n]/(n-1)

az átlag legnagyobb értéke pedig: [n(n+1)/2-1]/(n-1)

vagyis igaz ez az egyenlőtlenségpár:

[n(n+1)/2-n]/(n-1)<=A<=[n(n+1)/2-1]/(n-1)

átalakítás és egyszerűsítés után

a bal oldali kifejezés egyszerűbb alakja: n/2

a jobb oldali kifejezés egyszerűbb alakja: (n+2)/2

tehát: n/2<=602/17<=(n+2)/2

n<=1204/17<=n+2

n<=70,82<=n+2

a lehetséges n értékek: 69 és 70

meggondolva, hogy az átlag nevezője 17, ezért a letörölt számok darabszáma 17-tel osztható, ez pedig a (69-1)-re igaz

tehát n=69

az eredeti összeg: 69*70/2=2415

a letörlés utáni összeg: 68*602/17=2408

tehát a 7-et töröltük le

Másik megközelítés; habár az átlag 602/17, az eredményt nem biztos, hogy ebben az lakban kapjuk meg, hanem ennek bővített alakjában; legyen a keresett alak 602*k/(17*k), ahol k pozitív egész szám. Ebben az esetben 17k darab számunk van, így eredetileg 17k+1 darab volt.

Ha ebből a sorozatból elvesszük valamelyik számot, és a megmaradtaknak vesszük az átlagát, akkor az átlagra tudunk egy minimumot és egy maximumot adni; ha az 1 számot vesszük el, akkor lesz a legnagyobb az átlag, ebben az esetben olyan sorozatot kapunk, ahol 2 a kezdőérték, így ott az összeg

(2+17k+1)*(17k)/2, ennek az átlagát úgy kapjuk, hogy 17k-val osztunk, ami így szépen ki is esik, így marad (3+17k)/2.

Ha a legnagyobbat vesszük el, akkor az átlagok minimumát kapjuk, ekkor 1-től 17k-ig minden szám megvan, így az összeg

(1+17k)*(17k)/2, az átlag (1+17k)/2.

Értelemszerűen az adott átlagnak e kettő közé kell esnie, tehát

(1+17k)/2<=602/17<=(3+17k)/2 |*2

1+17k<=1204/17<=3+17k |különszedjük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát:

1+17k<=1204/17 -> k<=4,1

602/17<=(3+17k)/2 -> k>=3,98

A kettő közé csak k=4 egész fér be, ez azt jelenti, hogy összesen 17*4+1=69 számot adtunk össze. A számok összege 69-ig 2415, ha ebből elveszünk egy számot, akkor 68-cal kell osztani, hogy az átlagot megkapjuk. Ha a megadott átlagot 4-gyel bővítjük, akkor 2408/68-at kapjuk átlagnak, ez azt jelenti, hogy 2415-ből 7-et kell elvennünk, hogy 2408-hoz jussunk, így pedig 2408/68=602/17-hez, tehát a szám, amit elvettek, a 7-es.