Milyen számot kapunk, ha összeadjuk az ÖSSZES valós számot 0 és 1 között?

#10

"Itt a reciprok az ellentett akart lenni"

Valóban, köszönöm a pontosítást.

"De kihozhatók más számok is, pusztán átrendezéssel."

Nyilván, csak egy konkrét cáfolatot akartam írni.

Nem célom a kérdezőt megbántani, de már maga a kérdés is alapvetően értelmetlen, legalábbis így ebben a formában.

Az összeadás alapvetően egy kétváltozós művelet, amiből aztán sorozatokra, rekurzív definícióval bevezethetőek az n tagú összegek.

A következő lépés, megpróbálni megszámlálhatóan végtelen számra (tehát egy adott sorozat elemeinek összegére) kiterjeszteni, így el is jutunk a végtelen sorokhoz, ahol ugyebár azt mondjuk, hogy a végtelen sor összege xy, ha a részletösszeg sorozatnak xy a határértéke.

Ezzel a definícióval persze nem tudjuk értelmezni tetszőleges sorozat elemeinek az "összegét". Klasszikus példa:

1-1+1-1+1-1+...=sum((-1)^n)

Ekkor ugye a részletösszeg sorozat: 1, 0, 1, 0, 1, 0, ..., ami oszcillálva divergens, tehát nem létezik a határértéke, azonban átzárójelezve nézhetjük így:

1-1+1-1+1-1+...=(1-1)+(1-1)+(1-1)...=0+0+0+...,

ami már végtelen sorként konvergens, tehát az összege 0. Azonban így is nézhetjük:

1-1+1-1+1-1+...=1+(-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+...,

ami szintén konvergens végtelen sorként és az összege 1.

Sőt, az 1+x+x^2+x^3+...=1/(1-x), ha x eleme (0, 1) azonosságba x=-1-et helyettesítünk (bármennyire is nem eleme a (0, 1) intervallumnak), erre az összegre 1/2-et kapnánk.

Hogy mire akarok ezekkel a példákkal kilyukadni? Először is, hogy mit tartunk végtelen sok szám összegének, az definíció kérdése, másodszor, hogy ezen belül bizonyos, a véges esetben megszokott dolgok (mint például az átzárójelezhetőség) végtelen esetben egyáltalán nem biztos, hogy érvényben maradnak.

A 3. példa azért érdekes, mert a végtelen sorok összegét lehet általánosítani a szummábilis sorokkal, ahol nem a részletösszegek sorozatát, hanem az első n részletösszeg számtani határértékét tekintik összegnek. Így, természetesen azok a végtelen sorok, amiknek volt összegük, ebben az értelemben is lesz, sőt meg is egyezik velük, de például a 1-1+1-1+1... sor is "összegezhető lesz" és az értéke pont 1/2.

De ezekben az esetekben precíz definíciója van annak, hogy mit tekintünk végtelen sok szám összegeként, és ami nagyon fontos, mint a két esetben megszámlálhatóan végtelenről. A kérdésben viszont kontinuum végtelen szerepel, és nincs meghatározva, hogy mit tekintünk egy kontinuum elemű számhalmaz elemeinek összegének.

Ha mindenképpen definiálni akarnánk, szerintem egy elég kézenfekvő (bár valójában sok értelme nincs) definíció, hogy vegyük a szuprémumát az összes véges összegnek, ami a (0, 1) intervallumon (a [0, 1]-en is) természetesen végtelen. Ezzel a problémám az, hogy egy későbbi válaszban láttam, hogy a (-1, 1) intervallum is felmerült, ezzel a módszerrel ezen a halmazon is végtelen lenne, tehát próbálkozhatnánk, például egy tetszőleges számhalmazt egy pozitív és egy negatív részre bontani, a pozitívon szuprémumot a negatívin infimumot, és a kettő eredményt összeadni. Ez se vezetne azonban arra a várt eredményre, hogy a (-1, 1) intervallumon 0 az értéke, mert az egyik +végtelen a másik-végtelen, és a kibővített számegyenesen sincs értelmezve ezeknek az összegük. Ez a definíció is csak megszámlálható halmazok esetében adhatna (de nem feltétlenül) véges eredményt. A fenti párba állítós érvelést meg a zárójelezős példa miatt nem tartom helyesnek.

Ellenben az integrálszámítás nagyon sok hasonlóságot mutat például azzal, hogy hogyan lehet megkapni egy adott számsorozat n. tagjától az m. tagjáig terjedő elemeinek az összegét, de gondolhatunk arra is, hogy egy függvény átlaga adott [a, b] intervallumon a függvény integrálja osztva az intervallum hosszával, amit pedig analógiába hozhatunk a számtani középpel. Tehát, ha mindenképpen értelmezni szeretnénk egy intervallumon vett számok összességének az "összegét", az f(x)=x integrálja ezen az intervallumon akár meg is felelhetne, sőt 0-val egyenlő a (-1, 1)-en.

A kérdés testvérében ( https://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__egyeb-kerdesek__8.. ) felmerült a definiálhatóság problémája, talán az alábbiakkal alá tudom támasztani többeknek, hogy miért nem is érdemes ezzel próbálkozni, maradva az összegzésnél, ami talán világosabb.

Tehát, a cél az lenne, hogy olyan m függvényt értelmezzünk, ami egy adott számhalmazhoz hozzárendeljünk egy valós számot vagy a +-végtelen érték valamelyikét, úgy, hogy jogosan nevezhessük a kapott számot a halmaz elemeinek összegeként. Szóval, véges halmaz esetében legyen ez az érték az elemek összege, megszámlálható halmazban őket sorozatba rendelve a végtelen sor összegeként, illetve kontinuum elemszámú halmazok esetében valahogy úgy, hogy a megfeleljen a fent vázolt intuitív eredményeknek.

Ezeken kívül jogos elvárás egy ilyen m függvénytől, hogy ha A és B diszjunkt halmazok, akkor m(A∪B)=m(A)+m(B).

Az egyszerűség kedvéért foglalkozzunk csak valódi intervallumokkal. A fenti gondolatmenetek alapján teljesen jogos elvárás, hogy egy csak nemnegatív elemeket tartalmazó A intervallumra m(A) legyen egyenlő +végtelennel, míg, egy csak nempozitív elemeket tartalmazó B intervallumra m(B)=-végtelen, továbbá, a nullára szimmetrikus intervallumokon, legyen az nyílt vagy zárt, az m értéke 0.

Nézzük először a [-1, 1] intervallumot. Ekkor az elvárásaink szerint m([-a, a])=0, másrészt

m([-1, 1])=m([-1, 0)∪[0, 1])=m([-1, 0))+m([0, 1])=-végtelen+végtelen.

Tehát -végtelen+végtelen=0

Most legyen az intervallumunk: [-2, 1]. Ekkor

m([-2, 1])=m([-2, 0)∪[0, 1])=m([-2, 0))+m([0, 1])=-végtelen+végtelen

másrészt:

m([-2, 1))=m([-2, -1)∪[-1, 1])=m([-2, -1))+m([0, 1])=-végtelen+0=végtelen

Látható, hogy ez ellentmondás.

Vagy másképpen:

0=m([-2, 2])=m([-2, 2)∪{2})=m([-1, 1))+m({2})=m([-1, 1))+2 -> m([-1, 1))=-2

illetve másik felbontás szerint szintén -végtelen+végtelen, amire a 2 már a harmadik lehetséges összeg lenne.