Az alábbi egyenletet hogyan kell levezetni, hogy megkapjam a kör középpontjának koordinátáit?

x^2+2x majdnem teljes négyzet:

(x+1)^2=x^2+2x+1

emiatt:

x^2+2x=(x+1)^2-1

hasonlóképpen:

y^2-2y is majdnem teljes négyzet:

(y-1)^2=y^2-2y+1

emiatt:

y^2-2y=(y-1)^2-1

tehát az eredeti egyenlet így is írható:

(x+1)^2-1+(y-1)^2-1-47=0

(x+1)^2+(y-1)^2=49

x²+y²+2x+2y-47=0

Rendezzük kicsit, zárójeleket csak azért használom itt, hogy könnyebben átlátható legyen:

(x²+2x)+(y²+2y)=47

Milyen alakra akarjuk hozni?

(x+a)²+(y+b)²=r²

Ezt bontsuk szét:

(x²+2ax+a²)+(y²+2by+b²)=r²

a² és b² csak konstansok, vigyük át a másik oldalra:

(x²+2ax)+(y²+2by)=r²-a²-b²

A mi egyenletünk pedig:

(x²+2x)+(y²+2y)=47

Látszik, hogy:

2ax=2x

2a=2

a=1

2by=2y

2b=2

b=1

47=r²-a²-b²

47=r²-1-1

r²=49

Tehát a kör egyenlete:

(x+1)²+(y+1)²=49

Tehát ez egy 7 sugarú kör, aminek a középpontja (-1;-1)

Jajj, benéztem az y előtti előjelet.

Meg pár dolgot nem jól jelenített meg:

(x^2+2ax+a^2)+(y^2+2by+b^2)=r^2

(x^2+2ax)+(y^2+2by)=r^2-a^2-b^2

Ha valami nem világos, vagy lenne kérdésed, akkor nyugodtan írhatsz.