Mely pozitív egész x és y számokra igaz a következő egyenlőség? x^2+2x=y^2+6y+25 ?

1) x>y, mivel y többel van megszorozva, és még hozzá is van adva egy pozitív érték, és mindkettő pozitív egész.

2) x(x+2)=y(y+6)+25 alakra hoztam az egyenletet. Ez később nem fog kelleni, de most már nem fogom átszámozni :D

3) Ha x páros, akkor a jobboldal páros, tehát a baloldal is páros, tehát y(y+6) páratlan, tehát y páratlan. És fordítva. x és y paritása eltérő.

4) Mennyivel lehet x nagyobb? Legyen x=y+c, ahol c egész a feladat kikötése szerint, pozitív az 1) pont szerint és páratlan a 3) pont szerint. Ekkor az egyenletbe x helyére y+c-t írva:

(y+c)^2+2(y+c)=y^2+6y+25

y^2+2cy+c^2+2y+2c=y^2+6y+25

(2c-4)y=25-c^2-2c

y=(25-c^2-2c)/(2c-4)

Ha c=1, akkor y<0, ami nem lehet

ha c=3, akkor y=(25-c^2-2c)/(2c-4)=(25-9-6)/(6-4)=5

ha c=5 vagy c>5, akkor (25-c^2-2c)<0 és (2c-4)>0, tehát (25-c^2-2c)/(2c-4)<0, ami nem lehet.

Tehát az egyetlen POZITÍV EGÉSZ megoldás y=5 és x=5+3=8

Ellenőrzés:

8^2+2*8=64+16=80

5^2+6*5+25=25+30+25=80

pipa

Másik megoldás;

Alakítsuk mindkét oldalt teljes négyzetté: (x+1)^2-1 = (y+3)^2+16

Rendezzük az egyenletet így: (x+1)^2-(y+3)^2 = 17

A bal oldalon alkalmazzuk az ismert azonosságot: (x+1+y+3)*(x+1-y-3) = 17

Összevonás után: (x+y+4)*(x-y-2) =17

A bal oldalon két egész szám szorzata van, ami csak úgy lehet 17, hogy 1*17, vagy 17*1, negatív az x+y+4 nem lehet, így csak ez a két eset játszik. Érthető okokból az első tényező nagyobb a másodiknál, így az lesz a 17. Az első tényező 2y+6-cal nagyobb a másodiknál, egyébként pedig 16-tal, tehát ezeknek meg kell egyezniük, így: 2y+6=16, erre y=5 adódik, így pedig x=8.