A természettudományban mi az, hogy a modellek mögött matematika van?

A modell nem más mint egy leképezése a valóságnak.

Modell lehet egy RC autó ami egy valódi autóról készült, egy makett ami egy valós épületről lett másolva méretarányosan... A lényeg az, hogy ha ugyanolyan szemszögből vizsgáljuk, ugyanazt az eredményt kapjuk. Előbbi esetben ugyanúgy mozog és ad hangot a kisautó, utóbbi esetben ugyanúgy követik egymást az épületrészek, ésatöbbi.

Modellezni azonban nem csupán tárgyakat lehet, hanem természeti jelenségeket, sőt akár viselkedéseket is (ebben professzionálisak a hírdetési és közösségi médiás rendszerek). Ezt viszont csak úgy lehetséges megtenni, ha matematikai egyenleteket használunk rá.

Egyszerű példa: van egy dobozom, ami adott térfogatú. Szeretném tudni, hogy mennyi ideig tart míg feltelik. Ennek két módja van

1.: Megépítjük a rendszert, és méréseket végzünk. Ez a legbiztosabb módja az elméletünk helyességének megállapításához, hiszen a valóság mindig a valóságot fogja eredményül adni

2.: Matematikai modellt írunk rá, és gondolkodással kapjuk meg az eredményt. Ez több szempontból is jó - egyrészt olcsó, másrészt sokkal nagyobb rugalmassággal rendelkezik a fizikai rendszernél - egy változó átírásával végtelen számú változatot tudok kreálni

Építsük is fel az elméleti modellünket.

1.: Definiáljuk, mit akarunk tudni. Ezesetben ez "t", amely az az idő ami alatt fel fog telni az edény

2.: Összegyűjtjük a rendelkezésre álló adatokat. Ha ezek nem állnak rendelkezésre, úgy "paraméteres" megoldást alkalmazunk ahol nem konkrét számadatot, hanem összefüggést kapunk eredményképp. Ez mint kifejtésre került azért is jó, mert végtelen szabadságod lesz az eredmények tekintetében, ha változtatsz a változók értékén.

3.: Meg kell találni mi az összefüggés a különféle változók között. Itt lép be az a tudás, amit az iskolában megtanult az ember egy óra alatt, míg régen egy egész életbe telt kifejleszteni azokat a tudósoknak. Nehézséget jelenthet ha egy nagyon bonyolult jelenséget akarunk lemodellezni, amire olyan dolgok is hatással lehetnek amelyeknek nem vagyunk tudatában - ilyenkor jönnek az egyszerűsítések.

- Adott térfogatú edény feltöltéséhez folyadék betöltése szükséges, amelynek bizonyos térfogatárammal kell rendelkeznie hogy belefolyjon

- A folyadék térfogatárama nem más, mint egységnyi idő alatt áthaladt térfogat - azaz V1/t, melynek SI-mértékegysége cm^3/s. A "V" kapott egy 1-es jelölést, hogy megkülönböztethető legyen a többi térfogatértéktől

- Az edény térfogata "V2", azaz adott cm^3

- A két érték között a következő összefüggés áll fenn: V2=V1*t

- Ha átrendezzük, t=V2/V1

Láthatod, kész is a matematikai modellünk. Mivel a modellek jó esetben paraméteresek, a változók definiálásával végtelen számú modellt készíthetsz.

Ez az alapja mindenféle modellezésnek, csupán sokkal bonyolultabb formában. Hasonló módszerekkel igyekeznek leírni a valóságot, használják jövőbeni történések előrejelzésére, kockázatelemzésre... De a világon bármire képezhető modell.

Léteznek ún. "blackbox", "greybox", "whitebox" modellek attól függően hogy milyen pontosan ismert a belső összefüggés (t=V2/V1) - de ez már egy sokkal messzebbre mutató témakör.

Az egyik kedvenc példám a matematikai modellekre a Föld alakja: egy gömbszerű dolog, hegyekkel-völgyekkel, síkságokkal, tengerekkel stb.

Különböző számolásokhoz az ember kitalált mindenféle matematikai objektumot, ami ezt az alakot közelíti.

Először volt ugye a sík, ami lokálisan nem is rossz közelítés és a mai napig is gyakran használjuk. (Van egy téglalap alakú telek aminek a két oldala A és B, akkor ugye a területére mindenki rávágja hogy T=A*B. Pedig ez a képlet gömbfelszínen nem igaz, hozzá kéne tenni, hogy a terület A*B, HA feltételezzük hogy a föld - legalábbis lokálisan - sík)

Eggyel jobb közelítés a gömb: "szemre" a legtöbb műholdképen példálul gömbnek látszik, könnyű vele számolni, ezt használjuk a legtöbbet.

A Föld, a forgása miatt a sarkok irányából nagyon kis mértékben be van lapulva. Ennek a leírására szoktak alkalmazni egy újabb alakzatot, a forgási ellipszoidot, ami semmi egyebet nem csinál, csak ezt a korábban említett 0.33% lapultságot jelenség szinten leírja, így egy megfelelően paraméterezett forgási ellipszoid már közelebb lesz a Föld valós alakjához mint egy gömb.

Egyes esetekben viszont szükség van egy olyan modellre, ami tartalmazza a dinamikát, ami kialakítja ezt a lapultságot. Ezt hívják geoid-nak: a gravitációs és a centrifugális potenciál egy szintfelületét (tehát a geoidon nincsenek hegyek, ahogy anno kedves földrajztanárom tanította.. :D). Ez is csak egy matematikai konstrukció, mint a gömb vagy az ellipszoid, csak tartalmazza a lapult alakot kialakító fizikát.

Tehát egyre bonyolultabb matematikai objektumokat készítünk amelyek egyre jobban közelítik a megfigyeléseket.

Az evolúció is egy matematikai modell, még a mérnöki gyakorlatban is használják optimalizációs feladatok megoldására.

"a modellek mögött matematika van"

A modellek "mögé" a való világot szeretnénk tenni, ez a célja a modellnek, a világot viszont a matematikával írjuk le.

Másképp: A modellek mögött a valóság van, a matematika nyelvén megfogalmazva.

"Ami érdekelne még kifejezetten: az evolúció mögött is van valami matematika?"

Nem. Nincs. Az evolúció ugyanis nem modell. Az evolúció egy természettudományos jelentség, pont annyira valóságos, mint a tömegvonzás. A tömegvonzás az csak egyszerűen van, empíria nincs mögötte semmi matematika.

Amikor elejtünk egy követ, tömegvonzás hat rá, elkezd lefelé esni. Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy hogyan változik a sebessége, mikor ér földet, egyszóval a rendszer működését akarjuk leírni, akkor kellenek modellek. Pl. a tömegvonzás Newton-i modellje. Ez már valóban matematika, ami megfelelő feltételek teljesülése esetén leírja a rendszer viselkedését.

Evolúció esetén azt jelenti, hogy van egy természeti jelenség, amit az evolúció alakított ki pl egy gazda-parazita kapcsolat, akkor létrehozhatunk modelleket, amik leírják ezt a rendszert. Ezeknél a modelleknél, fizikai modellekkel szemben, többnyire nem az előrejelzés a céljuk, hanem épp ellenkezőleg: arra keresünk gyakran választ, hogy milyen feltételek teljesülése esetén érvényes a modell. Azaz mikor lehet evolúciósan stabil egy gazda-parazita viszony, illetve milyen feltételek esetén alakulhat ki. De fontos megérteni, hogy ez nem az evolúció modellje. A tömegvonzással ellentétben az evolúció sokkal szerteágazóbb, jelenségek összességét nem lehet egy egyenletrendszerrel leírni.

Remélem világos. Ez egy komplikált dolog, és maga modellalkotás, modell alkalmazás egy érdekes aspektusa a tudományfilozófiának.

"az evolúció mögött is van valami matematika?"

Az evolúció is modellezhető, mint egy adott rendszer sztochasztikus működése, ilyenkor főleg a statisztika és valószínűségszámítás hasznos, mint matematikai eszközök. Viszont egyrészt csak egyszerűsített rendszerekkel van értelme a túl sok tényező miatt, másrészt ilyen modellel nem lehet előrejelezni eseményeket, ahogy egy egzakt fizikai modell esetén, inkább csak események vagy tendenciák valószínűségét lehet vele megadni.

pl:

[link]

[link]