Hogyan kell az ilyeneket igazolni?

Alapvetően az ilyen egyenlőtlenségeket úgy szokás megoldani, hogy vagy a nagyobbik oldalt csökkentjük, vagy a kisebbik oldalt növeljük úgy, hogy egyszerűbb egyenlőtlenséget kapjunk, és azt megoldva -a legjobb esetben- az egész értelmezési tartományt lefedő megoldást kapunk. Ezt csinálta a 2-es válaszoló is, csak nem minden n-re kapott megoldást.

Ha ábrázoltatjuk például WolframAlphával az egyenlőtlenséget, akkor azt látjuk, hogy kis n-ekre a két oldal értékének különbsége 0-hoz közeli, ezért a növeléssel-csökkentéssel kapott egyenlőtlenségre nem fogjuk a teljes számhalmazt kapni megoldásként. Esetleg egy olyat el tudok képzelni, hogy megszorozzuk az egyenlőtlenséget egy „nagy” számmal, mondjuk 3.000.000-val, akkor már a két oldal különbsége lehet olyan nagy, hogy megéri csökkentgetni a jobb oldalt.

Bevett szokás az ilyen feladatoknál a számtani-mértani közép közti összefüggés felhasználása. A gond csak az, hogy ha itt most ezt használjuk, akkor a jobb oldalon egy ordó(negyedikgyök(n)) kifejezés jelenik meg, az meg nyilván nem lehet nagyobb minden n-re egy ordó(cbrt(n)) kifejezésnél.

Sajnos van olyan egyenlőtlenség, amit „nagyjából” meg lehet oldani, a többi esetet pedig kézzel kell végignézni. Előfordulhat, hogy ez is ilyen, vagy valami trükköt kell hozzá tudni, amit még nem láttunk bele (vagy nem is ismerünk).

Amivel még esetleg lehet valamit kezdeni, az az, hogy a két oldalt deriváljuk. Az szemmel látható, hogy mindkét oldalon szigorúan monoton növő kifejezések vannak a pozitív valós számok halmazára nézve is, így ha a jobb oldali kifejezés deriváltfüggvénye mindenhol nagyobb, mint a bal oldalié, akkor belátható, hogy az állítás igaz.

A WolframAlpha szerint a deriváltakra felírt egyenlőtlenség sajnos csak x>=1-től lesz igaz. Ha van egy kis szerencsénk, akkor x=1-re a jobb oldal nagyobb, vagy legalább egyenlőek. Szerencsére x=1-re 1=1 a két oldal, így mivel a jobb oldal a derivált szerint minden pontjában gyorsabban nő, mint a bal oldal, ezért a jobb oldal innentől kezdve végig nagyobb lesz. Ezzel beláttuk, hogy az egyenlőtlenség minden pozitív egész n-re igaz lesz. (Ha jól rémlik, akkor ilyen esetekben az átviteli elvre kell hivatkozni, de valahogy sohasem tudtam magamévá tenni, így nem is nagyon tudom, hogy az mi, csak mondták, hogy ZH-nál oda kell írni, különben pontot vonnak le.)

Ha a teljes nemnegatív valós számok halmazán akarjuk belátni, akkor még egy kicsit gyűrni kell az egyenlőtlenséget. Én már találtam olyan átalakítást, ami pont erre az intervallumra adja meg az igazságot, szóval nem lehetetlen vállalkozás.

Egyszerűsítsük a feladatot azzal, hogy szorzunk 3-mal, és a=n^(1/6) helyettesítéssel, (minden pozitív n-hez poz. a tartozik oda-vissza):

3*a^2 <= 1+2*a^3

Rendezve, szorzattá alakítva:

(a - 1)^2 * (a + 1/2) >= 0

Minden pozitív a-ra és n-re igaz.

Olyan, hogy "kell", ritkán van a matematikában. Olyan van, hogy valamit valahogyan meg LEHET oldani.

Vannak olyan egyenlőtlenségek is, amiket meg lehet teljes indukcióval oldani. Esetünkben a gyökjelek alá még bonyolultabb kifejezések kerülnének, pedig a "sima" n-nel sem tudunk mit kezdeni, úgyhogy valószínűleg nem ez lesz a járható út, de egy próbát megérhet, aztán vagy jó lesz, vagy nem.

Téged még nem tiltottak innen, @13? Mindegy, ami késik, nem múlik,

de addig is jókat röhögünk rajtad.

#17

Mondd csak, téged a Rotschildok vagy Bill Gates fizet?

Vagy szimplán annyira hülye vagy, hogy meg vagy győződve róla, hogy teljes indukcióval kell megoldani a feladatot és téged ebben a hitben nem lehet megingatni?

Nem, engem a munkaadóm fizet, aki sajnos nem ilyen gazdag.

És nem vagyok meggyőződve erről, de mint 16 mondta, ez is egy lehetőség. Borzalom, egyik sem talált.