Fizika feladat: egy juhász és kutya együtt haza megy a kutya haza fut és aztán a juhászhoz aztán megofrdul és megint amíg a juhász beér?

Igen, ez mindenképpen egy reális feltevés a kutyákkal kapcsolatban. :D

Egyébként a megfejtés helyes.

Nem azért lesz végtelen sok találkozás, mert a kutya olyan gyors, hanem azért, mert olyan közel van a juhász. Tegyük fel, hogy amikor a kutya visszaér, akkor a juhász épp megteszi a fele utat az előző találkozáshoz képest (a kutya 3x olyan gyors, mint a juhász). A kapott út megtételének a felénél ismét találkozik a kutyával, majd ismét, így tovább.

Amennyiben pontszerű a kutya, és a juhász, és nincs időveszteség a fordulással, akkor a juhász távolságát végtelen sokáig lehet felezni, mindig ott lesz a kutya. Szerencsére ez a végetlen sor véges összeget ad, ezért a kutyának nem kell végtelen ideig rohangálni. Ilyen érdekes paradoxonok fakadnak abból, ha egy olyan ártalmatlannak látszó feltételezéssel élünk, hogy a kutya pontszerű. :-D

A végtelen nem helyes válasz. Ugyanis az egész folyamat csak addig tart, amíg a juhász is haza nem ér. Márpedig egyszer haza ér, tehát az egész véges. A feladat szemléltetéséhez mondok egy gyakorlati, könnyen elképzelhető analógiát: Van egy vízszintes asztalunk, az asztal felett pedig (pl.1 méterre) elengedünk egy ping-pong labdát. Ütközés után a labda visszapattani, de már nem éri el az 1 métert, hanem kevesebb lesz. A második ütközés után a visszapattanási magasság ismét kevesebb lesz. Egy bizonyos idő után pedig megáll a labda, az asztalon marad, nem pattog tovább. Itt a kérdés az lenne, hogy hányszor vált zérussá a labda sebessége levegőben. Bizonyítható, hogy ebben az esetben a visszapattanási magasságok egy végtelen mértani sort alkotnak. Ennek meg ugye van határértéke, tehát az eredmény véges. Ebből számolható minden.

A feladat nem adta meg, hogy milyenek a sebességviszonyok. De bármilyen is legyen, a kutya mozgása helyettesíthető egy csillapodó rezgőmozgással. Abban az esetben, ha mind a kutya, mind pedig a juhász sebessége konstans, akkor ez a rezgőmozgás lineárisan csillapodó. Ez az alapötlet, ebből számolható.

"A feladat szemléltetéséhez mondok egy gyakorlati, könnyen elképzelhető analógiát: Van egy vízszintes asztalunk, az asztal felett pedig (pl.1 méterre) elengedünk egy ping-pong labdát. Ütközés után a labda visszapattani, de már nem éri el az 1 métert, hanem kevesebb lesz. A második ütközés után a visszapattanási magasság ismét kevesebb lesz. Egy bizonyos idő után pedig megáll a labda, az asztalon marad, nem pattog tovább."

Igen, a helyzet ugyan az, de onnantól kezdve, hogy belátod, hogy ez egy végtelen sor, miről beszélünk? Ezt a tesztet, csak kitaláltad, de nem végezted el! Ez a baj! Próbáld ki, mi történik: a labda egyre kevésbé emelkedik fel, de az egyes pattanások között egyre kevesebb idő telik el, ha kemény felületen pattog a labda, akkor mielőtt megáll szinte "végtelen gyorsan" pattog.

Nyilván a való élet ezt nem fogja igazolni, de az iskolai feladatokban többnyire nincs benne az a tag, az a hatás, ami ahhoz kell, hogy ne végtelen legyen.

De egyébként a végtelenek nagyon különös jószágok, attól, mert időben nem végtelen egy esemény (hiszen a juhász előbb utóbb nyilván hazaér), attól még végtelenszer találkozik vele a kutya, csak amikor már nagyon közel van a kapuhoz a csávó, akkor a találkozások között egyre kevesebb idő telik el, amikor a juhász távolsága (d) tart a 0-hoz, akkor a nagyon kis idő alatt (dt) is nagyon sokszor találkozik a kutyájával (n). Azaz d->0 dt->0 n->végtelen

Villanykörte!

Egy elméleti problémát nem lehet egy gyakorlati "gondolatkísérlettel" szemléltetni.

Nézzük elméletben:

Ha pl. 1 km-re vannak, mikor elindulnak, és a kutya 3x gyorsabb, akkor 500 m-nél lesz az első találkozó, 250-nél a 2., 125-nél a 3., 62.5-nél, stb, általánosságban:

az n. találkozás (1000 / 2^n ) méter távolságra lesz a céltól. Ez a képlet nyilvánvalóan minden természetes számra értelmezhető, és ahogy n tart a végtelenbe, úgy tart a távolság 0-hoz.