Hogy bizonyítható be (valós számok - sorozat alak)?

Pl. így lehet bizonyítani indirekten: Feltételezzük, hogy találtunk egy jó sorrendet, amivel fel tudtuk sorolni az összes valós (valójában irracionális) számot. Mondjuk ez lett a sorrend:

1. √2: 1,414213562373095...

2. √3: 1,732050807568877...

3. √5: 2,236067977499789...

4. pi: 3,141592653589792...

stb. a végtelenségig.

(Nem használom ki, hogy ez a sorrend, csak példaként írtam.)

Akkor most generáljunk egy végtelen tizedestörtet a következő módszerrel:

- az eleje 0 egész

- a tizedek számjegye legyen a sorozat első tagjából a tizedek számjegye plusz 1 (ha éppen 9 lenne az a számjegy, akkor 0.)

- a századok számjegye legyen a sorozat 2. tagjából a századok, plusz 1 (...ha 9, akkor 0)

- az ezredek szamjegye legyen a sorozat 3. tagjából az ezredek plusz 1 .. ugyanúgy.

- a 10⁻ⁿ helyiértékű szémjegy legyen az n-edik elem ugyanazon helyiértékű számjegye plusz 1 (vagy 0...)

- és így a végtelenségig.

Ez a szám tuti nem lehet a sorozat egyik tagjával sem azonos. Pl. a sorozat k-adik tagjával azért nem azonos, mert biztos, hogy különbözik a k-adik tizedesjegyük.

Tehát tudtunk generálni egy olyan számot, ami nincs benne a sorozatban. De akkor nem lehet igaz a kiindulásunk, hogy TUDTUNK találni egy felsorolást. Vagyis nem létezik ilyen felsorolás.

(Egyébként nem csak egy ilyen plusz számot tudunk generálni, ki lehet találni végtelen sok módszert, amivel mind más és más számok generálódnak...)