Hogy kell megoldani? 1 + sin2x = sinx + cosx

ha sin2x/2 elnne, akkor marha könnyűegy 1xű szorzattá alakítással. szólj, ha elgépelted :D

így már hosszabb.

sin2x=2sinxcosx

a továbbiakban az x-ek mindig 1zseresek, és nem írom ki őket.

emeljünk négyzetre:

1+4sincos+4sin^2cos^2=sin^2+cos^2+2sincos

sin^2+cos^2=1, így 1-et és 2sincos-t kivonva:

4sin^2cos^2+2sincos=0

2-vel osztunk, kiemelünk sincos-t:

sincos(2sincos+1)=0

3 felé lehet bontani az eseteket:

1)sinx=0

2)cos x=0

3)2sincos+1=0

1) és 2) asszem, trivi, ha nem, szólj.

3)

1 helyére beírjuk sin^2+cos^2=1

ezzel

sin^2+cos^2+2sincos=0

(sin+cos)=0

sinx=-cosx

sinx/cosx=-1

tgx=-1

ha a célkeresztet felrajzolod, ezt is végigbogarászhatod

Kinga néni megoldása nem teljesen jó. négyzetre nem emelhetünk ismeretleneket, mert azzal igazzá tehetünk nem igaz összefüggéseket is. (pl: 7=-7, az nem igaz, de négyzetre emeljük, és máris igaz lesz)

1=sin^2+cos^2

Tehát a baloldalon egy teljes négyzetet látunk (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 itt a=sinx, b=cosx

(sin+cos)^2=sin+cos

1. eset: sin+cos=0

Ez akkor lehet, ha sin=-cos

Ezt egységkörön megnézed, csak pi*3/4-nél és 7*pi/4-nél teljesül (plusz periódus mindnél)

2. eset sin+cos=/=0 (nem egyenlő nulla)

Ekkor leoszthatunk sin+cos-sal, és azt kapjuk, hogy sin+cos=1

Esetszétválasztás:

a) sin+cos<0 => egy nullánál kisebb szám nem lehet egyenlő eggyel

b) ha a baloldal pozitív, négyzetre lehet emelni. Ezt be kell látni mielőtt négyzetre emelünk!!!

sin^2+2sincos+cos^2=1 /levonunk egyet majd osztunk kettővel

sincos=0

akkor lehet ha:

sin=0, ekkor x=pi/2+k*pi (k eleme egész)

vagy

cos=0, ekkor x=n*pi (n eleme egész)

Tehát ugyanazt kaptuk mint Kinga néni, csak sokkal macerásabb úton, de legalább nem kötne bele a volt matektanárom :)

azt hittem, ez triviális, azért nem írtam le :-P

köszönöm a javítást, mostanában algebrai egyenletekel találkoztam sokat, ahol ált. benne van, h "ahol a, b, c poz. egészek, blablabla"