Igaz, hogy az integrállal egy olyan görbe függvényt kapunk meg, ami alatti terület egyezik az eredeti (primitív) függvény alatti területtel? (de legalábbis közel van hozzá)

Igazad van, csak a fogalmakat kevered.

A (határozatlan) integrálás eredménye az eredeti f(x) függvény (egy) F(x) primitív függvénye. Ha az eredeti f(x) függvény görbéje alatti területet akarod megkapni, pl. egy A és B pontja között, akkor (határozott) integrált kell számolnod az [A,B] intervallumon, amelynek eredménye F(B)-F(A). (Van improprius integrál is, de az lényegileg ugyanez.)

Megjegyzés: az integrálás és a deriválás egymás inverze olyan értelemben, hogy egy függvény deriváltjának a primitív függvénye maga az eredeti függvény. Amikor egy f(x) függvény primitív függvényét keressük, akkor valójában egy olyan F(x) függvényt keresünk, melynek a deriváltja f(x).

Megjegyzés (2): Végtelen sok primitív függvénye van az f-nek, F(x) mellett F(x)+c is megfelelő, ahol c tetszőleges konstans. Ha határozott integrálást kell végezni, akkor ezek közül az EGYIKET ki kell választani - az integrálás eredménye c értékétől függetlenül ugyanaz kell, hogy legyen.

Nem. Határozatlan integrálállal magát a primitív függvényt (pontosabban primitív függvényeket, végtelen sokat, amelyek egymástól csak konstansban térnek el) kapod meg. A primitív függvény nem az, amit integrálsz, hanem az, amiből deriválással visszakapod az eredetileg integrálni szánt függvényt. Pl. int(2x+1)dx = x^2+x+c (c bármilyen valós szám lehet), mert az x^2+x+c függvény deriváltja 2x+1.

Határozott integrállal pedig a függvény alatti területet egy meghatározott intervallumon. A határozott integrálszámítás eredménye nem egy függvény, hanem egy szám.

A matematikában nincs olyan művelet, amelynek az a feladata, hogy "szebbé", "kerekebbé" tegyen egy függvényt.