A Digamma függvénnyel kapcsolatos Pszi függvény hogyan viselkedik aszimptotikusan?

Pszi(z) ~ log(z), ha z --> oo és |argz|< pi. Pontosabban kell, vagy ez elég?

Annak idején írtam egy bizonyítást a Wikipédiában a Stirling-formulára. ( [link] A bizonyításban először a Digamma aszimptotikus sorát vezetem le. Ott azt láthatod, hogy a Digamma előáll mint log(z) és egy Laplace-transzformált összege. A Laplace-transzformáltra a Watson-lemmát alkalmazom, ami standard dolog aszimptotikus analízis könyvekben (magyar könyv nincs a témában). Ha nem kell a sorfejtés csak a log(z)-s nagyságrend, akkor elkerülheted a Watson-lemmát. Elég megmutatni, hogy a Laplace-transzformálandó függvény korlátos (az lesz: 1-gyel becsülhető abszolút értékben). Így a transzformált abszolút értékben kisebb mint az azonosan 1 Laplace-transzformáltja: 1/z. Ebből azt kapod, hogy Pszi(z) = log(z) + O(1/z), ha z --> oo, és |arg(z)|<pi/2. Ha a nagyobb szögtartományban akarod, akkor már komolyabb okoskodás kell: el kell forgatni az integrációs utat és a Cauchy-tétet kell használni. Egy másik lehetséges levezetés az Euler--Maclaurin-formulát használja. Ha jobban érdekel a téma, ajánlhatok könyveket.