Léteznek-e párhuzamosok?

Az euklideszi síkgeometriában:

"Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nem metszik egymást."

Vagyis senki nem mondott olyat, hogy a párhuzamosok a végtelenben találkoznak. Vagy egy metszéspontjuk sincs, vagy legalább kettő (azaz végtelen, a két egyenes egybeesik, a távolságuk 0, de ebben az esetben ugye egy egyenesről beszélnénk, mert az egyenesek minden pontja közös pont, tehát ezt a verziót hagyjuk.)

A párhuzamosok soha, semmilyen körülmények között nem metszik egy pontban egymást, a párhuzamosok legrövidebb távolsága mindig egyenlő és nagyobb mint nulla (azaz nem egybeeső egyenesekről van szó.) Csak "te látod" úgy, hogy a párhuzamosok a végtelenben találkoznak, ez optikai csalódás.

A nemeuklideszi geometria szerint pedig: "Két, egy síkban lévő és végtelen hosszúságú egyenes párhuzamos, ha nincs közös pontjuk." Vagyis nagyban hasonló az euklideszihez. Bár ugye a hiperbolikus egyenesek "ránézésre" nem is egyenesek.

A különbség az euklideszi és a nemeuklideszi párhuzamosok között az, hogy:

Euklideszi geometriában kötelezően: ha "e" egyenes párhuzamos "f" egyenessel, valamint "f" egyenes párhuzamos "g" egyenessel, akkor ebből egyértelműen következik, hogy "e" egyenes "g" egyenessel is párhuzamos. (Euklideszi axióma: Ha adott egy egyenes és egy rajta kívüli pont, akkor egy és csak egy, a ponton átmenõ egyenes létezik, amelyik párhuzamos az adott egyenessel.) azaz ha e||f & f||g, akkor > e||g

Ellenben a nemeuklideszi geometriában nem igaz az, hogy ha "e" egyenes párhuzamos "f" egyenessel, és "f" egyenes párhuzamos "g" egyenessel, akkor "e" egyenes "g" egyenessel is párhuzamos. Itt van arra példa, amikor "e" egyenest "g" metszi, mégis igaz az e||f & f||g, de igaz lehet az e#g

Ezen túl még nem teljesül a nemeuklideszi geometriában az, hogy két párhuzamos egyenes távolsága állandó.

"A párhuzaosok a végtelenben találkoznak" csak egy mondás. A végtelent elképzelni sem lehet, ezért ennek a mondásnak az az értelme, hogy "A párhuzamosok sohasem találkoznak." Pl. ha azt mondom, hogy végtelen sok idő múlva találkozunk, akkor gyakorlatilag azt mondom, hogy soha nem fogunk találkozni.

Gyakorlatban ha két párhuzamos egyenest nézünk, akkor úgy látszik, mintha összeérnének. Ugyanezt láthatjuk az ellentétes irányban is. Ha ez nem látszólagos lenne, akkor viszont nem lennének egyenesek.

Matematikus hallgató vagyok,ergo ez lesz a szakmám.

Néhány évvel ezelőttig még tartotta magát az a nézzet,h párhuzamosok a végtelenben találkoznak.Ez nem csak egy mondás!Ma már egységesen úgy gondoljuk,h nem találkoznak az egyenesek sehol:)

Nagyjából,akkora vitája volt ez egy ideig a matematikának,mint az éppne aktuális: a természetes számok közül melyik a legkisebb?0 v. 1?Nincs egységes vélemény,és érvelnek ide-oda az emberek.