Hogy lehet kiszámolni egy olyan n számot, hogy n alatt a 7 értéke egy (legalább) 7 db kilencessel kezdődő szám?

hát csak behelyettesítesz a képletbe és a végén felfelé kerekítesz (vagy ne ha nem kikötés hogy n€R)

nC7 azt jelenti, hogy n darabból hányféle képpen tudunk kiválasztani 7-et

n! / ( 7!(n - 7)!=9999999

Ha n elég nagy, akkor

(n alatt 7) ≈ n⁷ / (2·3·4·5·6·7)

Kicsit pontosabb közelítéssel a számláló ennyi:

n⁷ - (1+2+3+4+5+6)·n⁶

vagyis a közelítés és a pontos érték aránya ≈ 1 - 21/n. Ha n nagyságrendileg 10^9, akkor ez már 7 kilences pontosságot jelent (0.999999979)

Kereshetünk tehát ilyen számot is a megadott helyett:

n⁷ / (2·3·4·5·6·7) ≈ 10^k

n ≈ ⁷√(2·3·4·5·6·7·10^k)

k értékeire nézve elég csak 7 értéket kiszámolni, utána ugyanazok a számjegyek ismétlődnek, csak a tizedesvessző kerül odébb.

k=0: 3.380015159141296449888753351361883866572329669597402167759614...

k=1: 4.696515834539735196384133894540170321151829404694342509971277...

stb.

k=6: 24.32548484560699882453629223981921948978667115231697452702848...

Ezek 10-hatvány szorosai közül kerül majd ki n értéke. Vagyis olyat kell keresnünk, ami majdnem egész szám. Mint pl. k=0 sorában a k=14-hez tartozó érték: 338. Ez kevés lesz, hisz nem 100 milliós nagyságrendű még, de kipróbálhatjuk:

(338 alatt 7) = 93935323022736

k=21-nél is nulla van. Az is kevés lesz még, de nem baj:

(3380 alatt 7) = 993771081781481718000

látszik, hogy jó úton járunk.

Keressünk máshol nullát a számjegyek között. Mondjuk k=6-nál viszonylag jó helyen van 0:

n = 243254848456

(243254848456 alatt 7) = 9 999 999 999 116 567 753 811 275 399 529 795 207 493 165 987 731 466 297 049 348 797 271 879 478 600

Ez 10 kilencessel kezdődik.

Lehet, hogy van kisebb n...

Teljesen igazad van. Nem kell nullákat keresni, minél több számjegyet "használunk fel", annál jobb lesz az eredmény. Amit lehet egyszerűen úgy is csinálni, ahogy mondod.

(n-3)⁷-nel számolva a közelítés hibája nem 21/n, hanem 14/n² (hasonlóan jön ki, mint az előbb, csak kicsit munkásabb...). Tehát elvileg dupla annyi számjegyig lesz pontos. Ennek ellenére nem hoz sokat a 3 hozzáadása:

k = 42 → n ≈ 3380015.159141...

(3380015 alatt 7) = 999 993 457 446 144 673 690 803 252 164 015 461 131 435

(3380016 alatt 7) = 999 995 528 432 997 703 671 704 437 818 481 217 911 440

(3380017 alatt 7) = 999 997 599 423 527 030 799 116 990 423 670 175 745 448

(3380018 alatt 7) = 999 999 670 417 732 660 511 332 599 727 584 561 139 824

(3380019 alatt 7) = 1 000 001 741 415 614 598 246 649 391 303 531 064 611 388

k=43 → n ≈ 4696515.8345397...

(4696515 alatt 7) = 9 999 942 847 599 524 985 306 508 233 743 297 596 384 560

(4696516 alatt 7) = 9 999 957 752 202 057 035 532 515 922 764 576 210 581 440

(4696517 alatt 7) = 9 999 972 656 823 630 377 098 753 134 568 971 251 161 248

(4696518 alatt 7) = 9 999 987 561 464 245 030 276 961 317 467 284 910 556 224

(4696519 alatt 7) = 10 000 002 466 123 901 015 338 899 185 129 333 313 923 313

Azért nem látszik a dupla annyi számjegyes pontosság, mert a pontos n értéknél jönne ki, mi viszont lehagytuk a tizedeseket. A pontosságban viszont szigorúan csak a +3-as értéknél esik ki az 1/n tag (és marad az 1/n²), minden másnál tehát marad a normális pontosság. (Ezt most nem magyarázom tovább annak ellenére, hogy tudom, hogy nem érthető. Számold ki, hogy hogyan jön ki a 14/n², és rájössz.)

Érdekes, hogy k=43-nál kevesebb 9-es van n+3-nál, mint k=42-nél. Ez bizonyára csak véletlen.

Pont k=50-nél van a legelső olyan szám, aminél 7 kilences lesz:

(46965158+3 alatt 7) = 99 999 994 851 967 301 556 761 478 544 233 111 506 100 210 468 180