Létezik-e olyan 3 jegynél nagyobb prímszám, hogy annak bármilyen jegyeiből alkotott permutációja szintén prímszámot ad?

Ha annak kell eleget tennie, hogy n!-1 darab prímszámot kapjunk, akkor az csak az {1;3;7;9} halmazból tudjuk megalkotni, ebből csak végig kell próbálgatni, hogy jó-e vagy nem (gondolom nem, különben nem írtad volna ki a kérdést).

Ha viszont csak a felsőnek kell eleget tenni, akkor először érdemes felső becslést adni n-re; tudjuk, hogy 1<x egészig legfeljebb x/ln(x) prímszám van. Az ismétléses permutációból tudjuk, hogyha 4 számjegyünk van, amelyekből j, k, l és m darab van, akkor azokat x!/(j!*k!*l!*m!)-féleképpen lehet sorbarakni (értelemszerűen j+k+l+m=x). Akkor a legnagyobb ennek az értéke, hogyha egyenlő eloszlásban vannak; ha x osztható 4-gyel, akkor a fenti úgy írható fel, hogy x!/((x/4)!)^4; ennek kevesebbnek kell lennie, mint a felső becslésnek:

x!/((x/4)!)^4<=x/ln(x)

Jobb híján ezt az egyenlőtlenséget kell megoldanunk; beírtam WolframAlphába:

[link]

ez alapján x értéke legfeljebb 8 lehet (mivel azt mondtuk, hogy x 4-gyel osztható). Ha tovább variáljuk ezt, akkor lehet, hogy jobb felső becslést tudunk adni, mindenesetre tudtunk egy felső becslést adni, tehát nem kell a végtelenségig próbálkoznunk.

A valóságban szerintem legfeljebb 6-jegyű lehet a keresett számhalmaz, ha egyáltalán létezik, de kétlem.

Lefuttattam pár programot.

4,5,6 számjegyű biztos nincs.

Érdekesség: 939391 és 999331 számjegyeit körbeforgatva mind a 12 prím, persze ez közel sem az összes(60) perm.

Próbáltam még az n=4...18 számjegyű, összes egyforma 1 kivételével típusúakat, mert itt "csak" n perm. van.

Jelöltem a majdnem jókat.

[link]