Létezik olyan faktoriális (N! ) ami előáll két egymás utáni egész szorzataként (M* (M+1) )? Tétel, sejtés, bármi ezzel kapcsolatban létezik az irodalomban?

Ha M természetes szám, akkor a fenti két eseten kívül(!) nincs. Pl: 1*2*3*4*5.., itt az egész szorzatot a tagok közül két egymást követő szorzataként is fel kellene tudni írni, a többi elhagyásával, ami egyenlőtlenség lesz, mert két egymást követő (egynél nagyobb) természetes szám szorzata tuti nagyobb, mint a rájuk következő, tehát pl. 2*3=/=4, vagyis egy tag nem helyettesíthető az előzők szorzatával.

Ha M valós szám, akkor lehetséges, pl: az 5! = x*(x+1) egyenletnek van valós megoldása.

"Miért kéne a tényezők közül választani?"

Mert csak kettő kell közülük, a többi nélkül. (Vagy nem értem, amit kérdezel, bocs.)

Érdekes kérdés. Annyi világos, hogy az n-ig tartó páros számok vagy mind az m, vagy mind az m+1 felbontásába kerülnek, mivel csak az egyik szám lehet páros. És ezek mellé jöhet még 0 vagy több páratlan szám.

n=2 felett n csak páratlan lehet, máskülönben a páros oldal alapból több, mint 2x-ese lenne a páratlan oldalnak, szomszédos számok nem lesznek ebből.

Páratlan n-re n növekedésével a páros oldal produktuma lemarad a páratlantól. Az arányuk nem konvergens, tehát kellően nagy n-re a páratlan oldal akárhányszor nagyobb is lehet a párosnál, mozgásteret adva arra, hogy egy megfelelő páratlan szám átdobásával kiegyenlítsük a két oldal produktumát. A kérdés, hogy lehetséges-e őket annyira tökéletesen kiegyenlíteni, hogy 1 legyen a különbségük.

Excelbe bedobva az első adandó alkalom n=127-nél jön el, amikor a páratlan oldal kb. 9x-ese a párosnak, így a 3-at a páros oldalra átvive a két oldal aránya mindössze 1.00104 lesz, de a különbségük még így is gigantikus (10^103 nagyságrendű). A következő n=981-nél az 5 átvivése, arány 1.00012 de a különbség még így is 10^1250 nagyságrendű. És így tovább 7-re, 9-re, 11-re...

Ha egzakt számelméleti bizonyítás esetleg nincs is erre a kérdésre, statisztikait könnyen lehet csinálni. Fel kell mérni, hogy n növekedésével milyen gyakran jönnek ezek a "reményteli" pillanatok (amikor a két oldal aránya egy páratlan szám négyzetéhez közel esik) és hogy mekkora valószínűséggel esik annyira közel a páratlan szám négyzetéhez, hogy az átvivése szomszédos számokat eredményezzen. Annyi biztos, hogy egyre ritkábban jönnek az ígéretes n-ek (ha jól sejtem c*log'(n) ~ c/n sűrűséggel) és egyre nehezebb a pontos találat (~1/(n/2)!-ral arányosan). Igaz, hogy végtelen sok alkalmunk van, de még az a végtelen szumma is szemmel láthatóan csak valami elenyésző számhoz fog konvergálni.

Gondolkoztam közben a számelméleti megfejtésen is, és rájöttem, hogy mennyire egyszerű a feladat. n=2 és 3 után nincs több megoldása. n=4 és 5 "izomból" ellenőrizhető, n>=6-ra pedig belátható a végleges kudarc.

m és m+1 relatív prímek. Azaz egyszerre csak az egyikük lehet 2-vel osztható, 3-mal osztható, 5-tel osztható, stb. Emiatt, ahogy #8-ban írtam az összes páros számnak egy oldalra kell kerülnie. De ez igaz az összes 3-mal osztható számra is. Ha n>=6, a 6 miatt egy oldalon kell lennie az összes páros és 3-mal osztható számnak, ami behozhatatlanul naggyá teszi azt az oldalt, hiszen a számok 2/3-a oda esik, mégpedig egyenletesen elosztva. n>=10-nél már az 5-tel oszthatók is csak erre az oldalra kerülhetnek. Tehát a pár kis n-t leszámítva nem lehet n!-t két egymás utáni egész szorzatára bontani.