Igaz vagy hamis? Jövőhéten vizsgázok lineáris algebrából és ezeket nem igazán sikerült megoldanom. Ha valaki legalább egy részére tudná a biztos választ az is nagyon segítene!

Vektorösszeadás asszociativitásának igazolása:

(〈a₁; b₁〉 + 〈a₂; b₂〉) + 〈a₃; b₃〉 = 〈a₁ + a₂; b₁ + b₂〉 + 〈a₃; b₃〉 = 〈(a₁ + a₂) + a₃; (b₁ + b₂) + b₃〉 = 〈a₁ + a₂ + a₃; b₁ + b₂ + b₃〉

〈a₁; b₁〉 + (〈a₂; b₂〉 + 〈a₃; b₃〉) = 〈a₁; b₁〉 + 〈a₂ + a₃; b₂ + b₃〉 = 〈a₁ + (a₂ + a₃); b₁ + (b₂ + b₃)〉 = 〈a₁ + a₂ + a₃; b₁ + b₂ + b₃〉

tehát

(〈a₁; b₁〉 + 〈a₂; b₂〉) + 〈a₃; b₃〉 = 〈a₁; b₁〉 + (〈a₂; b₂〉 + 〈a₃; b₃〉)

Vektorösszeadás asszociativitása igazolva.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Vektorösszeadás kommutativitásának bizonyítása:

〈a₁; b₁〉 + 〈a₂; b₂〉 = 〈a₁ + a₂; b₁ + b₂〉

〈a₂; b₂〉 + 〈a₁; b₁〉 = 〈a₂ + a₁; b₂ + b₁〉

a kettő megegyezik:

〈a₁; b₁〉 + 〈a₂; b₂〉 = 〈a₂; b₂〉 + 〈a₁; b₁〉

Vektorösszeadás kommutativitása igazolva.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Neutrális elem létezésének igazolása a vektorösszadásra nézve (,,nullvektor'' létezése), feltevésünk szerint ez éppen a 〈0; 0〉 lesz. Bizonyítás:

〈0; 0〉 + 〈a; b〉 = 〈0 + a; 0 + b〉 = 〈a; b〉

〈a; b〉 + 〈0; 0〉 = 〈a + 0; b + 0〉 = 〈a; b〉

Neutrális elem létezse (,,nóullvektor'') igazolva.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Annak igazolása, hogy minden lehetséges vektornak van ellentet vektora, az 〈a; b〉 vektorhoz tatozó ellentet vektor éppen az 〈a'; b'〉 alakú vektor lesz, ahol az aposztófjellel jelölt ,,váltási'' szabályok a következőek:

0' = 0

1' = 1

a lényeg, hogy akáár 0, akár 1 értéke van valaminek (mondjuk x-nek), az x + x' összeg mindenképp épp 0 lesz. Akár -x jelölést is használhatnánk az x' jelölés helyett, de tudni kell, hogy itt a kételemű testben -1 = 1.

Szóval ennyi bevezető itán itt az igazolás arra, hogy minden 〈a; b〉 vektorhoz létezik ellentet vektor:

〈a; b〉 + 〈a'; b'〉 = 〈a + a'; b + b'〉 = 〈0; 0〉

〈a'; b'〉 + 〈a; b'〉 = 〈a' + a; b' + b〉 = 〈0; 0〉

Minden vektorhoz megfeleltethető ellentet vektor létezése igazolva.

Ezzel a Wikipédia ,,Vektortér'' cikkében felsorolt vektortér-axiómák első csoportjának teljesülését bebizonyítottam az ℱ₂ test fölötti ℱ₂ × ℱ₂ vektortérre.

[link]

A második pontban lévő axiómák teljesülése is hasonló módon igazolható az ℱ₂ test fölötti ℱ₂ × ℱ₂ vektortérre. Szóval ugyanez a macerás móka, ami során lényegében csak annyit csinálunk, hogy a vektorokre értelmezett végzett műveleteket komponensenként visszavezetjük a skalárok közti ,,jólismert'' műveletekre.

Az ℱ₂ test fölötti ℱ₂ × ℱ₂ ,,vektortér'' tehát VALÓBAN vektortér, méghozzá olyan vektortér, amely a nullvektoron kívül tartalmaz még más vektort is, és MÉGSEM végtelen. Így a 4) pontra jogosan mondhatjuk, hogy ,,nem igaz'', ellenpéldaként épp a fenti ℱ₂ test fölötti ℱ₂ × ℱ₂ vektortér hozható fel.

Szívesen (bocsánat, csak most olvastam a kérdezői kommentet). Sajnos én nem vagyok otthon ezekben a témákban, de éjjel még egy válasz eszembe jutott:

1) Csak egyetlen nullvektor van.

Igen, ez így van, méghozzá nemcsak egyes konkrét vektorterekben van ez így (pl. a ,,jólismert'', fizikából megszokott vektortérre, vagyis a hétköznapi háromdimenziós geometriai térre, azaz az ℝ test feletti ℝ³ vektortérre), szóval nemcsak egyes konkrét jólismert vektorterekre igaz ez, hanem elvileg is MINDEN LEHETSÉGES vektortérre, még azokra is, amiket még konkrétan soha nem is írt föl senki.

Ennek az az oka, hogy a nullvektor egyértelműsége már eleve magukból a vektortéraxiómákból következik. Pontosabban szólva: eleve egy halmazt csak akkor nevezünk ,,vktortérnek'', ha a vektortéraxiómák mindegyikét kielégíti, márpedig ha ez mind teljesül, akkor immár szükségszerűen kell adódnia a nullvektor egyértelműsége is.

Máris felírom az igazolást:

A vektortéraxiómák ,,első'' csoportjának axiómái (vektorösszeadásra vonatkozó axiómák) előírják azt, hogy létezzék nullvektor, vagyis olyan vektor, amit akár balról, akár jobbról hozzáadok teszőleges v vektorhoz akor pont azt a másik vektort fogom eredményül kapni:

0 + v = v

v + 0 = v

Most tételezzük fel egy pilanatra, hoy nemcsak egy ilyen különleges tulajdonságú vektor létezik, hanem legalább kettő is. Különböztessük meg őket jelöléssel is: jelöljük őket úgy, hogy 0₁ és 0₂.

Tehát az alábbiak igazak tetszőleges v vektorra:

0₁ + = v

v + 0₁ = v

és a másik nullvektor is produkálja ugyanezt a csodát:

0₂ + a = a

a + 0₂ = a

Most jön a lényeg. Ahhoz vicchez hasonlíthatnám, mintha lenne egy áthatolhatatlan páncélom, és egy mindentátütő nyilam, és megkérdezném, hogy hát akkor hogyan viselkedik EGYMÁSSAL az áthatolhatatlan páncél és a mindentátütő nyíl. Itt is, ,,eresszük össze egymással'' a két nullvektort!

0₁ + 0₂ = 0₁, (az alapján, hogy 0₂ nullvektor.)

0₁ + 0₂ = 0₂, (az alapján, hogy 0₁ is nullvektor.)

Tehát szükségszerűen

0₁ = 0₂

Vagyis nem játszhatja nullvektor (neutrális elem) szerepét két KÜLÖNBÖZŐ vektor.

5)

Ha V vektortér, akkor

V ≤ V

és

{0} ≤ V

is igaz.

Szóban: bármely V vektortérnek altere saját maga,

és bármely V vektortérnek altere a csak nullvektorból álló egyelemű halmaz (triviális vektortér).

Ezért aztán garantált, hogy minden vektortérnek legyen legalább egy altere. Még a {0} triviális vektortérnek is van altere: saját maga.

A többit így kapásból nem tudom. Az a könyv, amiben jól benne vannak az efféle szőrözős dolgok:

Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Kiadó.

[link]