Hogyan kell megoldani a 2. feladatot?

Többféleképpen is meg lehet közelíteni, de talán ez a legegyszerűbb; először is, másodfokú függvénynek akkor van maximuma, hogyha a főegyüttható (az x^2-tel megszorzott szám) negatív. Most (-1),tehát ez teljesül.

Másodszor; tudjuk, hogy a másodfokú függvény a szélsőértéket mindig pontosan egy helyen veszi fel (például az f(x)=x^2 függvény minden pozitív értéket kétszer vesz fel, a 0-t csak egyszer, ami pedig a minimuma). ENnek megfelelően csak a

-x^2-mx+1+1=1

paraméteres egyenletet kell megoldanunk azzal a kitétellel, hogy az egyenletnek pontosan 1 darab megoldása legyen x-re. Rendezzük az egyenletet:

-x^2-mx=0, itt érdemes kiemeléssel megoldani;

-x*(x+m)=0

Ennek két megoldása van; x=0 és x=-m. Viszont ha két megoldása van, akkor az 1-et is kétszer veszi fel, így nem lehet az eredetinek 1 a maximuma, hacsak nem tudjuk elérni, hogy a két megoldás egyenlő legyen; tehát az a kérdés, hogy lehet-e az, hogy

0=-m teéjesül, és igen; m=0-ra ez igaz lesz.

Ellenőrzés: ha m=0, akkor a függvény: -x^2-m*0+1=-x^2+1, és ennek valóban 1 a maximuma.

Más megoldás nincs, tehát csak m=0 esetén lesz igaz.

A valós számok halmazán értelmezett f(x)=a*x^2+b*x+c függvény szélsőértékhelye: -b/(2a).

Jelen esetben:

-m/2

f(-m/2)=1

-m^2/4-m^2/2+1=1

...

m=0