Adott két doboz, mindegyikben n darab alma. Ha meg akarunk enni egyet, akkor találomra kihúzunk valamelyik dobozból egyet. Egyik húzásnál észrevesszük hogy az adott doboz üres. Mi a valószínűsége hogy a másikban pontosan k darab alma van még?

Sokkal egyszerűbben is lehet számolni; legyen az egyszerűség kedvéért n=3, tehát 3 darab A alma és 3 darab B alma van. Az legyen a kérdés, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy ha az egyik ládából kifogy az alma az utolsó húzásra, akkor a másikban pontosan k=2 alma van.

A húzások mindegyikének kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető egy betűsor; például az AABABB azt jelenti, hogy az első, a második és a negyedik húzásra az A dobozból húztunk, a többi esetben a B-ből (illetve az utolsó két húzást ha megtennénk, akkor egy esélyes lenne a dolog). Ennek megfelelően:

Összes eset: (6 alatt a 3)=20

Kedvező eset: az utolsó három betű mindenképp ABB vagy BAA kell, hogy legyen, tehát a válasz 2*(3 alatt a 2)=2*3=6

Valószínűség: 6/20=3/10=30%.

Követve a gondolatmenetet, általánosan:

Összes eset: (2n alatt az n)

Kedvező eset: 2*(2n-k-1 alatt az n-1)

A kettő hányadosa adja a valószínűséget.

A feladatot ebben a számításban én úgy értelmeztem, hogy az utolsó alma kihúzásakor kiderül számunkra, hogy az a doboz akkor kiürült. Ha viszont a feladat úgy érti a húzást, hogy következő alkalommal üres dobozba nyúlunk és akkor derül ki, akkor egy kicsit változtatva ugyanezt a sémát lehet használni. A különbség csak annyi, hogy ha azt nézzük meg, hogy a B dobozban mikor lesz pontosan 2 alma, akkor nem 3, hanem 4 darab A-val számolunk, ahol a betűsor vége ABB kell, hogy legyen, és mivel a valószínűség fordított esetben is nyilván ugyanannyi lesz, ezért csak szorzunk 2-vel a végén. Ennek levezetése szerintem a fentiek fényében menni fog.

Ha ragaszkodsz a feltételes valószínűséggel való számoláshoz, akkor passzolok.

Eleve, micsoda B, meg P(B)? Mi az, hogy P(B) = 1/2^n? Mert annak, hogy B ürül ki hamarabb, 1/2 az esélye...

Ha elakadsz egy feladattal, akkor a standard módszer az, hogy nekiállsz és olyan feladatokat oldasz meg, amiket értesz.

0.5^(n+1)*0.5^(n-k)*C(2n-k,n)*2

Szerintem a binomiális eloszlás jó hozzá.

Viszont az egyik dobozba n+1-szer nyúlunk, mert akkor jövünk rá, hogy üres.

A másikba nyilván "n-k"-szor, hogy k maradjon.

A "2n-k alatt az n"-hez azért nem kell a +1, mert az a húzás mindenképp az utolsó, amikor már üres dobozba nyúltunk.

A kettővel való szorzás meg azért kell, mert mindegy melyik doboz üres és melyikben marad k darab.

n=2 esetén

k=2 valószínűsége 0.25

k=1 valószínűsége 0.375

k=0 valószínűsége 0.375

n=3 esetén

k=3 valószínűsége 0.125

k=2 valószínűsége 0.25

k=1 valószínűsége 0.3125

k=0 valószínűsége 0.3125

Szóval jónak tűnik.

Ellenőrzés :D

<?php

$n = 3;

$t = 1000000;

$k = array_fill(0, $n+1, 0);

for ($i=0; $i<$t; $i++) {

$box[0] = $n;

$box[1] = $n;

do {

$b = mt_rand(0, 1);

$x = $box[$b]--;

} while ($x > 0);

$k[$box[1-$b]]++;

}

-------

n = 2

k = 0 --> 0.374922

k = 1 --> 0.374726

k = 2 --> 0.250352

-------

n = 3

k = 0 --> 0.312185

k = 1 --> 0.312135

k = 2 --> 0.250691

k = 3 --> 0.124989

------

n = 4

k = 0 --> 0.27324

k = 1 --> 0.273268

k = 2 --> 0.234224

k = 3 --> 0.156551

k = 4 --> 0.062717

#6, 7

Én már levezettem és bizonyítottam is a válasz helyességét.

Nem értesz vele egyet? :)

#9 Fejtsd ki, kérlek!

Szerintem a #3-as hozzászólásban lévő egyenlet pontosan megadja, hogy "n" alma esetén mennyi a valószínűsége, hogy "k" darab marad a másikban, amikor üres dobozba nyúlunk.

Valóban, nem matematikailag bizonyítottam, hanem programmal és random számokkal, de nekem ez elég volt ahhoz, hogy el tudjak aludni. :D