Az ABCD konvex négyszögben M, N, P és R az (AB), (BC), (CD), (DA) oldalak felezőpontjai. Ha MP és NR (O) -ban metszik egymást és T (AMOR) =12cm^2, T (BNOM) =16cm^2, T (DROP) =20cm^2, mennyi az ABCD négyszög területe? 9DROP)

Azt hiszem elég jól használható ábra van itt:

[link]

Egy kis egyenletrendszer megoldás még hátra van.

Nagyon hasznos az utolsó válaszoló ábrája, tökéletesen alkalmas a feladat megoldására.

A három egyenlet

T2 + T3 + T5 = 12

T3 + T4 + T6 = 16

T1 + T2 + T6 = 20

A keresett rész területe

Tx = T1 + T4 + T5

A 3 felső egyenletből kifejezve a T1, T4, T5 értékeit és behelyettesítve a Tx képletébe

Tx = 48 - 2(T2 + T3 + T6)

A paralelogramma geometriájából adódóan

T6 = T5

így

Tx = 48 - 2(T2 + T3 + T5)

A zárójelben levő összeg nem más, mint a bal alsó terület, melynek nagysága: 12. (Lásd a hármas egyenletrendszer első egyenletét)

Ezért

Tx = 48 - 2*12

Tx = 24

=======

DeeDee

***********

Én csináltam azt az ábrát - kösz az elismerést, és az elegáns befejezést!

Most már csak azon gondolkozom, hogy

1.) valódi méretekkel hogyan készíthető el az ábra?

2.) nincs egyszerűbb megoldás? (Nem én bonyolítottam túl a gondolatmenetet?

Szép megoldás, gratulálok az átlók behúzásának ötletéhez: bár zsúfolttá tette az ábrát, mégis célravezető volt.

Viszont az egész számolgatás elhagyható, ha általánosítjuk a feladatot, és kimondjuk, hogy az "átellenes" négyszögek területének összege megegyezik a másik "átellenes" négyszögpár területének összegével (és így a teljes négyszög területének felével)

Ez a belinkelt ábrádról jól látszik: egyrészt vannak a T1, T2, T3, T4 háromszögek, mindegyikből kettő, egyik az egyik csoportban, másik a másikban, másrészt van a középső paralelogramma, amit a két átló (mámint a paralelogramma átlója, nem az eredeti négyszögé) négy

egyenlő területű háromszögre oszt, amiből kettő ide tartozik, kettő oda.

Alakul a megoldás. :-)

Kanóc válaszát szemléltetendő, készítettem egy ábrát, amin csak a szükséges vonalakat hagytam meg.

[link]

AMORΔ = T1 = Tk + Ta + Td

BNOMΔ = T2 = Tk + Ta + Tb

DROPΔ = T3 = Tk + Tb + Tc

NCPOΔ = T4 = Tk + Tb + Tc

Ez utóbbit kellett meghatározni a megoldáshoz az ötleted szerint.

Viszont ha felírom a szemben levő területek nagyságát

T1 + T4 = 2*Tk + Ta + Tb + Tc + Td

T2 + T3 = 2*Tk + Ta + Tb + Tc + Td

adódik, ami igazolja Kanóc általánosításának jogosságát. Ehhez viszont végig kellett játszani a területek kirakósdi játékát.

Így már meg lehet válaszolni a feladat kérdését:

az ABCDΔ területe

T = 2(T1 + T4 ) = 2(T2 + T3) = 2(16 + 20)

T = 72

======

Ami a kérdéseidet illeti: mintha csak magamat hallanám. :-)

Először a geometriai úton indultam el, aztán jött egy másik ötlet, és nem folytattam.

Az ötlet a területek arányára vonatkozott.

Az adatokból fel lehet írni, hogy

T1:T2:T3:Tx = 3:4:5:x

Ezzel a teljes terület úgy írható, hogy

T = 3*n + 4*n + 5*n + x*n

T = n(12 + x)

Az arányossági tényező 4, így a teljes terület

T = 4(12 + x)

Viszont az 'x' nagyságát nem sikerült meghatároznom, csak annyit, hogy az ismeretlen területre (Tx) is érvényes a 4-es arányossági tényező.

A 3, 4, 5 sorozat csábított a következtetésre, hogy az x = 6, de nem tudtam bizonyítani!

Ezután láttam meg a rajzodat, és minden a helyére került. :-)

Ha végigviszem a geometrikus vonalat, talán és is rájövök a megoldásra, de így tied az érdem. :-)

Mindezt csak a második kérdésedre válaszként írtam le, de lehet, hogy van még más út is.

A szerkesztéssel nem jutottam dűlőre, minden esetre érdekes probléma. Ha van valami ötleted, írj azonnal.

DeeDee

**************

Engedelmetekkel ennek a kellemes eszmecserének a tapasztalatait összegeztem itt:

[link]

Ezzel a közel ötéves "párbeszéddel" kívánok boldog új évet az érintetteknek.

Sajnos az eredeti linkek ma már nem érhetőek el, ezért itt van egy új link:

[link]